![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Глава 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В главе 2 мы решали задачи, связанные с отысканием производной данной функции. Теперь будем заниматься задачами, в которых требуется применение обратной операции, то есть по данной производной отыскивать функцию, которую дифференцировали. Операцию восстановления функции по ее производной будем называть интегрированием, а раздел математического анализа, в котором изучается эта операция и ее приложения – интегральным исчислением функции одной переменной.
Примеры практических задач, в которых применяется операция интегрирования: дана скорость движения тела, требуется найти его закон движения, то есть зависимость пройденного пути от времени; дано ускорение, требуется найти скорость движения тела; и другие.
Перейдем теперь к точным определениям.
Определение 1. Пусть на некотором промежутке Х задана функция . Функция
называется первообразной для функции
на этом промежутке, если для всех
.
Заметим, что термин «первообразная» был введен французским математиком Ж.Л. Лагранжем (1736-1813).
Легко проверить, что для функций и
первообразными на R являются функции
и
соответственно.
Теорема. Если функция имеет на промежутке Х первообразную
, то и все функции вида
будут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная
для функции
,
, может быть представлена в виде
, где С – некоторая постоянная.
Доказательство. По определению первообразной . Поскольку
, то
– первообразная для
на промежутке Х.
Пусть теперь – любая первообразная для функции
на Х. Тогда
на Х и согласно условию постоянства функции на промежутке (см. главу 2)
, то есть
, где
. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что достаточно найти для данной функции только одну первообразную функцию
, чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга постоянными слагаемыми. Выражение
исчерпывает все семейство первообразных функций для
.
Определение 2. Если – первообразная для функции
, то выражение
, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции
и обозначается символом
.
Это обозначение ввел в 1675 году немецкий философ и математик Г.В. Лейбниц (1646-1716).
Таким образом, по определению, , где
– первообразная для функции
, а С – произвольная постоянная.
Функция называется подынтегральной функцией, произведение
– подынтегральным выражением, переменная х – переменной интегрирования, символ
– знаком интеграла.
Из определения неопределенного интеграла вытекают его основные свойства.
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал – подынтегральному выражению, то есть
.
Действительно, по определению неопределенного интеграла имеем .
2. Неопределенный интеграл от производной функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, то есть
. (*)
Поскольку , то эту формулу можно записать в виде
.
Формула (*) непосредственно вытекает из определения неопределенного интеграла, поскольку функция является первообразной для
.
Таким образом, из свойств 1-2 следует, что символы и d взаимно уничтожаются, только во 2-ом случае к
надо прибавить произвольную постоянную С.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла, то есть если , то
. (**)
Действительно, , то есть левая и правая части равенства (**) являются множествами всех первообразных для одной и той же функции
, значит, они равны.
4. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций:
.
Доказательство аналогично доказательству свойства 3. Это свойство справедливо и для любого конечного числа функций.
Таблица основных интегралов
1. . 8.
.
2. . 9.
.
3. . 10.
.
4. . 11.
.
5. . 12.
.
6. . 13.
.
7. , в частности,
.
Заметим, что переменную х, входящую в эти формулы, можно заменить любой другой. Например, вместо формулы можно записать
и т.д.
Доказываются эти формулы по определению неопределенного интеграла. Докажем, например, формулу 4. Найдем . Если
, то
. Если
, то
. Таким образом, формула 4 справедлива для х, принадлежащих любому промежутку, не содержащему нуля.
Вычисление интегралов путем непосредственного использования таблицы простейших интегралов и их основных свойств называется непосредственным интегрированием. При этом часто приходиться производить преобразования подынтегральной функции, чтобы получить табличные интегралы.
Примеры. Вычислим интегралы: 1) ; 2)
; 3)
.
Решение. 1)
.
2) .
3) .
Для вычисления более сложных интегралов применяются различные методы интегрирования или используются математические справочники, содержащие таблицы сложных интегралов.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 331 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!