Первообразная функция, неопределенный интеграл, его основные свойства

Глава 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

В главе 2 мы решали задачи, связанные с отысканием производной данной функции. Теперь будем заниматься задачами, в которых требуется применение обратной операции, то есть по данной производной отыскивать функцию, которую дифференцировали. Операцию восстановления функции по ее производной будем называть интегрированием, а раздел математического анализа, в котором изучается эта операция и ее приложения – интегральным исчислением функции одной переменной.

Примеры практических задач, в которых применяется операция интегрирования: дана скорость движения тела, требуется найти его закон движения, то есть зависимость пройденного пути от времени; дано ускорение, требуется найти скорость движения тела; и другие.

Перейдем теперь к точным определениям.

Определение 1. Пусть на некотором промежутке Х задана функция . Функция называется первообразной для функции на этом промежутке, если для всех

.

Заметим, что термин «первообразная» был введен французским математиком Ж.Л. Лагранжем (1736-1813).

Легко проверить, что для функций и первообразными на R являются функции и соответственно.

Теорема. Если функция имеет на промежутке Х первообразную , то и все функции вида будут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная для функции , , может быть представлена в виде , где С – некоторая постоянная.

Доказательство. По определению первообразной . Поскольку , то – первообразная для на промежутке Х.

Пусть теперь – любая первообразная для функции на Х. Тогда на Х и согласно условию постоянства функции на промежутке (см. главу 2) , то есть , где . Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что достаточно найти для данной функции только одну первообразную функцию , чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга постоянными слагаемыми. Выражение исчерпывает все семейство первообразных функций для .

Определение 2. Если – первообразная для функции , то выражение , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

Это обозначение ввел в 1675 году немецкий философ и математик Г.В. Лейбниц (1646-1716).

Таким образом, по определению, , где – первообразная для функции , а С – произвольная постоянная.

Функция называется подынтегральной функцией, произведение – подынтегральным выражением, переменная х – переменной интегрирования, символ – знаком интеграла.

Из определения неопределенного интеграла вытекают его основные свойства.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал – подынтегральному выражению, то есть .

Действительно, по определению неопределенного интеграла имеем .

2. Неопределенный интеграл от производной функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, то есть

. (*)

Поскольку , то эту формулу можно записать в виде

.

Формула (*) непосредственно вытекает из определения неопределенного интеграла, поскольку функция является первообразной для .

Таким образом, из свойств 1-2 следует, что символы и d взаимно уничтожаются, только во 2-ом случае к надо прибавить произвольную постоянную С.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла, то есть если , то

. (**)

Действительно, , то есть левая и правая части равенства (**) являются множествами всех первообразных для одной и той же функции , значит, они равны.

4. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций:

.

Доказательство аналогично доказательству свойства 3. Это свойство справедливо и для любого конечного числа функций.

Таблица основных интегралов

1. . 8. .

2. . 9. .

3. . 10. .

4. . 11. .

5. . 12. .

6. . 13. .

7. , в частности, .

Заметим, что переменную х, входящую в эти формулы, можно заменить любой другой. Например, вместо формулы можно записать и т.д.

Доказываются эти формулы по определению неопределенного интеграла. Докажем, например, формулу 4. Найдем . Если , то . Если , то . Таким образом, формула 4 справедлива для х, принадлежащих любому промежутку, не содержащему нуля.

Вычисление интегралов путем непосредственного использования таблицы простейших интегралов и их основных свойств называется непосредственным интегрированием. При этом часто приходиться производить преобразования подынтегральной функции, чтобы получить табличные интегралы.

Примеры. Вычислим интегралы: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) .

2) .

3) .

Для вычисления более сложных интегралов применяются различные методы интегрирования или используются математические справочники, содержащие таблицы сложных интегралов.