Определение комплекта

Теория множеств используется в математике и вычислительной технике длительное время. Теория комплектов является естественным расширением теории множеств. Комплект, подобно множеству, есть набор элементов из некоторой области. Однако в отличие от множества комплекты допускают присутствие нескольких экземпляров одного и того же элемента. В теории множеств элемент есть либо элемент множества, либо не элемент множества. В теории комплектов элемент может входить в комплект нуль раз (не входить в комплект) или один, два, три или любое заданное число раз.

В качестве примера рассмотрим следующие комплекты над областью {а, b, c, d}:

B1 = {а, b, с},

В2 = {а},

В3 = {а, b, с, c},

B4 = {а, a, c, а},

В5 = {b, с, b, с},

В6 = {с, с, b, b},

В7 = {а, а, а, а, c, d, d, d, d, d}.

Некоторые комплекты являются множествами (например, В1 и В2). Так же как и в множествах, порядок элементов в комплекте не важен. Поэтому В₅ и В6 являются одним и тем же комплектом (упорядоченные комплекты являются последовательностями).

В теории множеств основным понятием является отношение включения. Это отношение связывает элементы и множества и определяет, какие элементы являются членами каких множеств.

Основным понятием теории комплектов является функция числа экземпляров.

Эта функция определяет число экземпляров элемента в комп­лекте. Обозначим число экземпляров элемента х в комплекте В через #(x, В) (читается «число х в B»).

Исходя из этого понятия, можем определить основы теории комплектов. Большинство понятий и обозначений заимствованы из теории множеств. Если мы ограничим число элементов в комплекте так, что 0 < #(x,В) <= 1, то получим теорию множеств.