Случайные величины и вероятностные распределения

Вероятность является мерой возможности осуществления результата. Формально мера вероятности является функцией , которая ставит в соответствие результатам некоторые вещественные числа и удовлетворяет следующим аксиомам:

1. для любого результата

2. , где S — пространство выборки

Функция, которая ставит в соответствие каждому результату из пространства выборки некоторое существенное число, называется случайной величиной. Дискретными называются те случайные величины, которые принадлежат конечному или счетному множеству значений. Непрерывные случайные величины могут принадлежать континууму значений. В нашей модели магазина с одним кассиром интервал времени между приходами посетителей является непрерывной случайной величиной, а число посетителей, обслуженных за один час работы магазина — дискретной.

Вероятностное распределение представляет собой некоторое правило задания вероятности для каждого из всех возможных значений случайной переменной. Правило задания вероятности имеет две различные формы в зависимости от того, является случайная величина дискретной или непрерывной.

Для дискретной случайной величины вероятность каждого ее значения задается функцией вероятности p(x), которая определяется как

Для каждого возможного значения x_i функция устанавливает конкретную вероятность того, что случайная переменная X принимает значения x_i. Аксиомы вероятностей накладывают следующие ограничения на :

для всех i,

Альтернативной функцией вероятности является функция распределения или кумулятивная функция распределения , определяемая следующим образом:

Здесь функция определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение не больше x. Из аксиом вероятностей вытекают следующие свойства :

для всех x,

,

.

Функция распределения связана с функцией вероятности следующим образом:

.

Для непрерывных случайных величин требуется иная форма представления вероятностного распределения. Поскольку случайная величина может принимать любое из бесконечного несчетного множества значений, вероятность конкретного значения равна нулю. Это говорит не о том, что данное значение невозможно,а о том, что оно крайне невероятно вследствие бесконечного числа альтернативных значений. При этом, конечно, вероятность того, что переменная примет значения в интервале a и b, в большинстве случаев не будет равна нулю. Следовательно, функция вероятности для дискретного случая заменяется на непрерывную функцию плотности вероятности f(x), определяемую следующим выражением:

.

Таким образом, функция плотности вероятности при интегрировании на интервале от a до b дает вероятность того, что случайная величина примет значение из этого интервала. В соответствии с аксиомами вероятностей функция плотности должна удовлетворять следующим условиям:

,

Функция распределения определяется для непрерывных случайных величин следующим образом:

.

Функция определяет вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, не большее их..

Часто необходимо охарактеризовать случайную переменную одним или несколькими значениями, которые суммируют информацию, содержащуюся в функции распределения вероятности. Математическим ожиданием случайной величины Х, обозначаемым , является значение, определяемое следующим образом:

, если величина Х дискретна;

, если величина Х непрерывна.

Математическое ожиданием является, таким образом, взвешенная по вероятности средняя величина всех возможных значений Х, определяющая меру центральности распределения. Поэтому эта величина часто называется средним значением.

Математическое ожидание можно находить также для функции случайных величин. В частности, математическое ожидание называется n-м моментом случайной переменной и определяется следующим образом:

, если величина Х дискретна

, если величина Х непрерывна

Математическое ожидание является частным случаем данного выражения при n=1 и называется первым моментом.

Вариация n-го момента называется n-й момент среднего, который определяется выражением

.

Следовательно, перед вычислением n-го момента математического ожидания Х вычитается из Х.

Особое значение имеет второй момент среднего, называемый обычно дисперсией Х и обозначаемый как . Дисперсия случайной переменной является мерой разброса вероятностного распределения. Если дисперсия случайной величины мала, вся выборка лежит вблизи математического ожидания. Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением случайной величины.