Пример расчета рамы на действие силовой нагрузки, температуры и смещение опор

Для рамы, показанной на рис. 8.3 построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил от внешней нагрузки; от вертикального смещения левой опоры на Δ = 0,01 м, от температурного воздействия на ригель.

Расчет на силовое воздействие

1.1. Нумеруем узлы (1,2,3) и стержни (1,2). Показываем локальную и глобальную системы координат (рис.8.4). Опорный шарнир 3 отнесем к стержню, следовательно, элемент 1-типа "заделка-заделка", а элемент 2–"заделка–шарнир".

1.2. В соответствии с типом элементов приводим нагрузку к узловой, имеющей направление, обратное показанным на рис.8.5,а,б реактивным усилиям. Сосредоточенный момент учитываем как узловой.

1.3. Расчет ведем с учетом продольных деформаций элементов, поэтому матрица жесткости элемента в локальной системе координат имеет вид:

а матрица перехода из глобальной системы координат в локальную выглядит следующим образом:

Рис. 8.3

Рис. 8.4

Элемент 1	Элемент 2
а)	б)
в)	г)
Рис. 8.5

Для элемента 1 ("заделка–заделка") получим матрицу жесткости в локальной системе координат:

Запишем матрицу поворота . С учетом того, что по формуле (8.7) , .

Сделаем перевод матрицы жесткости из локальной в глобальную систему координат:

Вектор узловых сил в локальной системе координат

Этот же вектор в глобальной системе координат

Для элемента 2 ("заделка–шарнир") формируем матрицу жесткости в локальной системе координат

По формуле (8.7) определяем , (Верхний индекс 2 не путать с возведением в степень). Тогда матрица поворота будет иметь вид:

;

Матрица жесткости Вектор узловых сил

				-1
		1.5	1.5		-1.5	1.5				-3	-3
		1.5			-1.5					-1	-1
	-1			6+1			-6			0+5.5	5.5
		-1.5	-1.5		2+1.5	-1.5		-2		-3 0	-3
		1.5			-1.5	6+2	-6			1+1.5-12	-9.5
				-6		-6				2.5	2.5
					-2

Учитывая граничные условия, вычеркиваем столбцы и строки, соответствующие нулевым перемещениям. Система уравнений МКЭ примет вид

Решая эту систему, определим узловые перемещения.

; ; .

Находим узловые силы и строим эпюры внутренних силовых факторов для каждого элемента отдельно.

Элемент 1

Процесс построения эпюр отражен на рис.8.6.

Рис. 8.6 Эпюры усилий в элементе 1

Элемент 2

Процесс построения эпюр отражен на рис. 8.7.

Рис. 8.7

Объединим эпюры на оси рамы (рис.8.8.)

Рис. 8.8

2. Расчет на смещение опорной связи (рис.8.9)

Система уравнений МКЭ при расчете на смещение опор имеет такой же вид, как и при расчете на силовое воздействие:

.

Рис. 8.9

По условию задано вертикальное перемещение Δ = – 0.01 м (знак минус указывает, что заделка перемещается вниз, противоположно направлению оси ). Наличие смещения учитывается на этапе формирования граничных условий. Второй столбец (ненулевой) умножаем на заданное перемещение и, сменив знак, переносим в правую часть. В результате получаем вектор узловых сил. Исключаем строки и столбцы, соответствующие заданным граничным условиям, и приходим к системе уравнений

Решая систему, получим .

Определяем узловые силы и строим для каждого элемента эпюры , , . Это будут окончательные эпюры. Объединим их для всей рамы (рис.8.10)

Рис. 8.10

3. Расчет на температурное воздействие

Изменяется температурный режим ригеля, причем приращение температуры нижних волокон Δt₂=0⁰, а верхних – Δt₁=10⁰ (рис.8.11).

Рис. 8.11

Высота поперечного сечения h=0,04м. Коэффициент линейного температурного расширения град^-1. Векторы узловых сил в локальной системе координат определяются по формулам (6.27) и (7.28):

Вектор узловых сил в глобальной системе координат для элемента 1

Для элемента 2, температурный режим которого не меняется, , для всей рамы вектор узловых сил имеет компоненты

С учетом граничных условий система уравнений МКЭ в матричной форме будет иметь вид

Решая эту систему, определим узловые перемещения

Далее расчет ведется аналогично рассмотренному выше(от температурного воздействия). Эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил для всей рамы показан на рис.8.12.