Стержневые конечные элементы могут соединяться в узлах под различными углами. В общем случае элементы системы работают как на растяжение-сжатие, так и на изгиб. Для суммирования всех сил, действующих на узел, необходимо эти силы представить в единой системе координат, которая называется глобальной (рис. 8.1).
|
| Рис. 8.1. Стержневой элемент в локальной и глобальной системах координат
|
Перемещения узлов системы также задаются в глобальной системе координат. В глобальной системе координат степени свободы удобно сгруппировать по узлам, а в локальной - по направлениям. Поскольку нумерация степеней свободы в локальной и глобальной системах координат различна, поэтому преобразования векторов перемещений и узловых сил из одной системы координат в другую можно записать в виде
| (8.1)
|
| (8.2)
|
где 
| (8.3)
|
Матрица 
ортогональна и ее можно получить как произведение двух ортогональных матриц – булевой матрицы перестановок и матрицы направляющих косинусов:
| (75)
|
Значения ненулевых элементов матрицы 
даны в таблице 8.3.
| Таблица 8.3
|
| Локальная нумерация
| Глобальная нумерация
| | оси
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица направляющих косинусов элемента состоит из двух одинаковых блоков для каждого узла:
| (8.5)
|
где
 ;
| (8.6)
|
– косинус угла между осями 
и 
; остальные элементы матрицы направляющих косинусов имеют аналогичный смысл. В [3] показано, что для вычисления синуса и косинуса удобно воспользоваться формулами
| (8.7)
|
Введем обозначения 
, 
и на основании (8.4) – (8.7) получим выражение для матрицы преобразования элемента (матрица поворота)
| (8.8)
|
Матрица жесткости элемента в глобальной системе координат связывает глобальные узловые силы и перемещения:
| (8.9)
|
Матрица жесткости элемента в локальной системе координат состоит из двух блоков:
 , где 
| (8.10)
|
матрица 
получена п.6.2 (формула 6.20), а 
определяется по формулам (7.23), (7.30), (7.32) в зависимости от наличия шарниров в узлах элемента. Если в обоих узлах имеются шарниры, то 
. Аналогичную блочную структуру в локальной системе координат имеет вектор узловых сил от внеузловой нагрузки.
