Формула Пуассона

Якщо число випробувань - велике, а ймовірність появи події при одному випробуванні – мала, то для знаходження ймовірності того, що подія з’явиться раз, використовується наближена формула Пуассона:

, де . (1)

Приклад 1. Завод відправив на склади споживачам 5000 доброякісних виробів, ймовірність того, що при транспортуванні вироби можуть зіпсуватися дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність, що при транспортуванні зіпсуються три вироби.

Розв’язання. За умовою задачі , , , тоді. За формулою Пуассона

.

Приклад 2. Прядильниця обслуговує 1000 веретен.

Ймовірність розриву нитки на одному веретені за 1 хвилину дорівнює 0,003. Знайти ймовірності: 1) за хвилину відбудеться не більше 4-х розривів; 2) за хвилину відбудеться не менше 5 розривів.

Розв’язання. За умовою задачі , тоді . Необхідно знайти ймовірність . За теоремою додавання ймовірностей

.

Застосуємо до кожного з доданків формулу (1)

.

2) Оскільки для ймовірностей маємо

,

то

.

Задачі на формулу Пуассона

1. Якщо в середньому лівші складають 1%, то чому дорівнює ймовірність, що серед 200 людей: а) виявиться четверо лівшів: б) знайдеться хоча-б четверо лівшів.

2. Комутатор установи обслуговує 100 абонентів. Імовірність того, що протягом однієї хвилини абонент подзвонить на комутатор, дорівнює 0,01. Знайти ймовірність того, що протягом однієї хвилини подзвонять: а) рівно 3 абоненти; б) менше від трьох абонентів; в) більше від 3-х абонентів; г) хоча-б один абонент.

3. Радіотелеграфна станція приймає цифровий текст. Внаслідок перешкод ймовірність помилкового прийому довільної цифри не змінюється протягом всього прийому і дорівнює 0,01. Вважаючи прийом окремих цифр незалежними подіями, знайти ймовірність того, що в тексті, який містить 800 цифр, буде 5 помилок.

4. В автобусному парку 70 автобусів. Відомо, що ймовірність виходу з ладу двигуна протягом дня дорівнює 0,1. Знайти ймовірність того, що у визначений день виявляться несправними двигуни в чотирьох автобусах.

Відповіді. 1. а) ; б) . 2. а) ; б) ; в) ; г) . 3. . 4. .