Ймовірність відхилення відносної

частоти від заданої ймовірності

Нехай відомо, що ряд випробувань є незалежним по відношенню до події , причому відомо, що ймовірність появи події при одному випробуванні є сталою і дорівнює . Припустимо, що здійснено випробувань і при цьому подія з’явилась раз, тобто відома відносна частота події при цих випрбуваннях. При проведенні серій багатократних випробувань відносні частоти в основному повинні бути близькими до ймовірності , тобто потрібно оцінити абсолютну величину різниці . Щоб оцінити наскільки величина є суттєвою, задають певну межу цієї величини і знаходять ймовірність нерівності , тобто ймовірність .

Для знаходження записаної ймовірності, виконаємо ряд тотожних перетворень, а саме

.

При тотожних перетвореннях ймовірність не змінюється, тобто

.

Приймаючи , , застосуємо до останньої ймовірності інтегральну формулу Лапласа (див. 4.5 формула (2)), де

,

,

маємо

.

Отже, ймовірність того, що відносна частота відхиляється від даної ймовірності менше, ніж на , обчислюється за формулою:

(1)

де значення функції знаходиться по таблиці 2 (див. Додаток).

Приклад 1. Ймовірність виготовлення деталі з дефектом на даному автоматичному пристрої дорівнює 0,08. Визначити ймовірність того, що серед 1000 деталей відхилення від даного процента браку не перевищуватиме 0,01.

Розв’язання. За умовою задачі , , ; . Знаходимо шукану ймовірність за формулою (1)

.

Приклад 2. Відомо, що несхожість насіння пшениці даного запасу становить 8%. Скільки потрібно висіяти для контролю зерен пшениці, і у яких межах може міститись число зерен, що не дали схожості, як що відхилення відносної частоти їх від заданої ймовірності несхожості не перевищувала 0,01 із ймовірністю 0,9596?

Розв’язання. За умовою задачі

. Знайти , і , якщо

.

За формулою (1) маємо , або . За таблицею 2 додатку заходимо, що , якщо . Отже, із рівняння

Знаходимо .

Тепер розв’яжемо нерівність відносно

.

Отже, якщо схожість зерен не зміниться , то потрібно висіяти 3100 зерен і число можливих зерен, що не дадуть схожості, повинно бути в межах від 217 до 279, при цьому ймовірність того, що відхилення відносної частоти від заданої ймовірності несхожості не перевищує , дорівнює .

Задачі на ймовірність відхилення відносної частоти від заданої ймовірністі

1. Імовірність появи події у кожному з 625 незалежних випробувань дорівнює . Знайти імовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її імовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на .

2. Посіяно насінин гороху з імовірністю проростання для кожної насінини. 1) Знайти значення абсолютної величини відхидення частоти пророслих насінин від ймовірності , якщо ця величина повинна гарантуватися з імовірністю . 2) Встановити, у яких межах при цьому буде знаходитись кількість пророслих зерен.

3. Імовірність появи події в кожному з незалежних випробувань . Знайти число дослідів , при якому з імовірністю можна стверджувати, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,02.

4. Відділ технічного контролю перевіряє 900 деталей на стандартність. Імовірність того, що деталь нестандартна, дорівнює . Знайти з ймовірністю межі, в яких буде міститися число стандартних деталей серед перевірених.

Відповіді. 1. . 2. 1) ; 2) . 3. . 4. .