Анализа

Регрессионный анализ - метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств. Данные состоят из пар значений зависимой переменной (переменной отклика) и независимой переменной (объясняющей переменной). Регрессионная модель есть функция независимой переменной и параметров с добавленной случайной переменной. анализа.

Виды регрессионного анализа:
1) гиперболическая - регрессия равносторонней гиперболы: у = а + b / х + Е;
2) линейная - регрессия, применяемая в статистике в виде четкой экономической интерпретации ее параметров: у = а+b*х+Е;
3) логарифмически линейная - регрессия вида: In у = In а + b * In x + In E
4) множественная - регрессия между переменными у и х1, х2...xm, т. е. модель вида: у = f(х1, х2...xm)+E, где у - зависимая переменная (результативный признак), х1, х2...xm - независимые, объясняющие переменные (признаки-факторы), Е- возмущение или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных факторов в модели;
5) нелинейная - регрессия, нелинейная относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейная по оцениваемым параметрам; или регрессия, нелинейная по оцениваемым параметрам.
6) обратная - регрессия, приводимая к линейному виду, реализованная в стандартных пакетах прикладных программ вида: у = 1/a + b*х+Е;
7) парная - регрессия между двумя переменными у и x, т. е, модель вида: у = f (x) + Е, где у - зависимая переменная (результативный признак), x – независимая, объясняющая переменная (признак - фактор), Е - возмущение, или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных факторов в модели.

Основная задача регрессионного анализа заключается в нахождении по выборке объемом n оценки неизвестных коэффициентов регрессии b0, b1,..., bk.
Задачи регрессионного анализа состоят в том, чтобы по имеющимся статистическим данным для переменных Xi и Y:
• получить наилучшие оценки неизвестных параметров b0, b1,..., bk;
• проверить статистические гипотезы о параметрах модели;
• проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со статистическими данными (адекватность модели данным наблюдений).
Построение моделей множественной регрессии состоит из следующих этапов:
1. выбор формы связи (уравнения регрессии);
2. определение параметров выбранного уравнения;
3. анализ качества уравнения и поверка адекватности уравнения эмпирическим данным, совершенствование уравнения.
Множественная регрессия:
• Множественная регрессия с одной переменной;
• Множественная регрессия с двумя переменными;
• Множественная регрессия с тремя переменными.

49. Простые линейные регрессии: выбор вида эмпирического уравнения регрессии.

Выбор общего вида уравнения регрессии является важной задачей, поскольку форма связи выявляет механизм получения значений зависимой случайной переменной Y. Форма связи может быть линейной или нелинейной. Линейная связь описывается линейным уравнением. Уравнение простой линейной регрессии имеет вид:

График этой функции называется линией регрессии. Линия регрессии точнее всего отражает распределение экспериментальных значений на диаграмме рассеяния, а угол ее наклона характеризует степень зависимости между двумя переменными.

Параметры уравнения регрессии могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов (именно этот метод и используется в Microsoft Excel). При определении параметров модели методом наименьших квадратов минимизируется сумма квадратов остатков.

В случае парной регрессии рассматривается один объясняющий фактор: через обозначим изучаемый эконометрический показатель; через – объясняющий фактор. Эконометрическая модель парной регрессии имеет следующий вид

, (1)

где – неизвестная функциональная зависимость (теоретическая регрессия); – возмущение, случайное слагаемое, представляющее собой совокупное действие не включенных в модель факторов, погрешностей.

Основная задача эконометрического моделирования – построение по выборке эмпирической модели, выборочной парной регрессии , являющейся оценкой теоретической регрессии (функции ):

, (2)

здесь – эмпирическая (выборочная) регрессия, описывающая усредненную по зависимость между изучаемым показателем и объясняющим фактором. После построения выборочной регрессии обычно производится верификация модели – проверка статистической значимости и адекватности построенной парной регрессии имеющимся эмпирическим данным.

Экспериментальная основа построения парной эмпирической регрессии – двумерная выборка: , где – объем выборки (объем массива экспериментальных данных).

50. Простые линейные регрессии: оценка параметров регрессии методом наименьших квадратов.

Рассматривается модель парной линейной регрессии .

На основе эмпирических наблюдений построим оценку теоретической регрессии – найдем выборочное уравнение регрессии

.

Оценки , параметров , определяются по методу наименьших квадратов из соотношения: , (1)

т. е. , выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых (выборочных) значений показателя от расчетных была минимальной.

Вычисляя производные по параметрам , и приравнивая их к нулю, приходим к следующей системе из двух уравнений (система нормальных уравнений):

,. (2)

Решение этой системы уравнений называется оценкой неизвестных параметров по методу наименьших квадратов, его можно найти по формулам:

(3)

где

, , , .

Таким образом, парная эмпирическая линейная регрессия имеет вид:

, (4)

где коэффициенты и определяются по формуле (3).

Коэффициенту при объясняющем факторе в парной линейной регрессии можно дать естественную экономическую интерпретацию. Коэффициент показывает, на какую величину изменяется в среднем изучаемый эконометрический показатель при увеличении объясняющего фактора на одну единицу.

Нетрудно найти значения показателя, рассчитанные по выборочной линейной регрессии для тех значений объясняющего фактора, которые содержатся в выборке:

, . (5)

Особое значение для проверки статистической значимости парной линейной регрессии имеют остатки (разности между истинными значениями показателя и значениями, вычисленными по уравнению линейной регрессии):

, . (6)

51. Простые линейные регрессии: статистическая значимость параметров регрессии.

Статистическая значимость параметров уравнения регрессии определяется по t-статистике или статистике Стьюдента. Так:

tb – t-статистика для коэффициента регрессии b

mb – стандартная ошибка коэффициента регрессии.

Так же рассчитывают t-статистику для коэффициентов корреляции R:

Таким образом tb^2=t_r^2=F. То есть проверка статистической значимости коэффициента регрессии b равносильна проверке статистической значимости коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции показывает тесноту корреляционной связи(между х и у).

Для линейной регрессии коэффициент корреляции:

Для определения тесноты связи используют обычно таблицу Чеглока

R 0,1 – 0,3 слабая

R 0,3 – 0,5 умеренная

R 0,5-,07 заметная

R 0,7-0,9 высокая

R 0,9 до 0,99 весьма высокая связь между х и у

Коэффициент корреляции -1<R<1

Часто для практических целей рассчитывают коэффициент эластичности, бета-коэффициент:

Эластичностью функции у=f(x) называется предел отношения относительных переменных у и х

Эластичность показывает на сколько %-в изменится у при изменении х на 1 %.

Для парной линейной регрессии коэффициент эластичности вычисляется по формуле:

Он показывает на сколько %-в изменится у в среднем при изменении х в среднем на 1 %.

Бетта-коэффициент равен:

– среднее квадрат отклонение x

– Среднее квадрат отклонение у

Бетта-коэффициент показывает на какую величину от своего среднего квадратического отклонения изменится у при изменении х на величину своего среднего квадратического отклонения.