Определение и простейшие свойства группы

Определение 2.1. Алгебра называется группой, если операция удовлетворяет системе аксиом:

1. (операция ассоциативна на множестве )

2. (существование в множестве нейтрального элемента относительно операции );

3. (существование для каждого элемента из множества симметричного ему относительно )

Обозначение - группа относительно операции .

Из определения следует алгоритм проверки, является ли множество относительно заданной операции группой или нет:

1. Установить определена ли операция на : найти , если

и , то операция определена на множестве ; если и , то операция неопределенна на множестве и - алгеброй, а значит и группой, не является.

2. Проверить выполнение аксиомы 1. из определения группы:

найти и , если , то аксиома 1. выполняется; если , то операция ассоциативной на данном множестве не является, а значит, не является группой, относительно заданной операции.

3. Проверить выполнение аксиомы 2. из определения группы:

решить уравнения если уравнение имеет корень и уравнение имеет корень , при этом , то аксиома 2 выполняется; если же хотя бы одно из уравнений не имеет корня в множестве или корни уравнений различны, то в нейтрального элемента относительно операции нет, а значит, группой относительно данной операции не является.

4. Проверить выполнение аксиомы 3. из определения группы:

решить уравнения , где - нейтральный элемент относительно операции ; если корень уравнения , корень уравнения и , то аксиома 3 выполняется, и является группой относительно операции ; если же какое-то из уравнений не имеет корня в или корни уравнений различны, то аксиома 4 не выполняется, и группой не является.

Определение 2.2. Если - группа и операция коммутативна на , то называется коммутативной или абелевой группой.

Определение 2.3. Пусть - группа. Число элементов в множестве называется порядком группы. При этом, если число элементов в конечно, группа называется группой конечного порядка или конечной группой. Если же число элементов в бесконечно, то группа называется группой бесконечного порядка.