Следствия. Это остаточный член в форме Лагранжа

p = n + 1.

R_{n +1}(x) = (x – x ₀) ^{n +1} (8)

Это остаточный член в форме Лагранжа.

(здесь рисунок)

x - x ₀ = q (x – x ₀), 0 < q < 1.

x = x ₀ + q (x – x ₀).

R_{n +1}(x) = (x – x ₀) ^{n +1}. (8)

p = 1. Тогда R_{n +1}(x) = (x – x ₀) f ^{(n +1)}(x). Т.к. x = x ₀ + q (x – x ₀), то x - x = (x – x ₀)(1 - q).

R_{n +1}(x) = (1- q) ⁿ × f^{(n +1)}(x ₀ + q (x – x ₀)). (9)

Это остаточный член в форме Коши.

32. Разложение по формуле Маклорена функции ln (1 + x).

Формулой Маклорена называется формула Тейлора с центром в точке a = 0. Формула Маклорена дает представление функции в окрестности точки x = 0. Запишем формулу Маклорена для произвольной функции f (x) с остаточным членом в форме Лагранжа, Коши и Пеано.

(1)

где остаточный член имеет вид:

в форме Лагранжа

(2)

в форме Коши

(3)

(q в формулах Лагранжа и Коши, вообще говоря, различные)

в форме Пеано

(4)

Рассмотрим разложение по формуле Маклорена.

При n ³ 1

(5)

где остаточный член имеет вид:

в форме Лагранжа

(6)

в форме Коши

(7)

в форме Пеано

(8)

Оценки остаточного члена:

в форме Лагранжа

0 £ x £ 1. Переходя в (6) к модулям

при 0 £ x £ 1 (9)

в форме Коши

-r £ x £ 0, где 0 < r < 1. Переходя в (7) к модулям

т.к. 0 < r < 1 (10)