Краевые задачи линейных дифференциальных уравнений

Прежде чем познакомиться с краевыми задачами ещё раз рассмотрим классификацию возможных решений ДУ и применения:

1^*. Произвольное решение: не отмечается признак решения.

2^*. Общее решение: предполагается дальнейшее решение задачи Коши.

3^*. Особое решение: в каждой его точке нарушается условие единственности решения. Поиск особого решения сводится к поиску огибающей линии семейства кривых общего решения.

Решение краевой задачи предполагает выделение из общего решения некоторого частного решения, но условия относят не к одной точке, а к разным точкам. Из геометрических соображений легко установить, что для уравнения 1-го порядка краевая задача не определяется (можем задать только одну точку и из семейства кривых выделить единственную кривую, проходящую через заданную точку). Понятно, что для уравнения 2-го порядка краевая задача может быть определена так: из множества интегральных кривых уравнения =0 выделить ту, которая проходит через точки и . Возможны и другие граничные условия. Ниже приведены Примеры, иллюстрирующие возможные построения граничных условий.

☺☺

Пример 10 – 12: Выделить решение дифференциального уравнения: , удовлетворяющее краевым условиям: (0)=1, =0.

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение , его корни: = . Запишем общее решение уравнения: = .

2). Воспользуемся краевыми условиями: (0)= =1 и = =0. Решая полученную систему уравнений, получаем: =1 и =0. Записываем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: = .

Ответ: частное решение: = .

☻

Краевые задачи могут определяться и более сложно. В некоторых случаях условия могут представляться выражениями, куда входят одновременно и значения функций, и значения производных. Для иллюстрации рассмотрим ещё один пример.

☺☺

Пример 10 – 13: Найти частное решение неоднородного уравнения Эйлера: для заданных краевых условий: =1, =0.

Решение:

1). Применяем подстановку: = (или = ). В заданном уравнении коэффициенты равны: =0, =1, =−2, =2. Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

= , или = .

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение: , его корни: =1, =2.

3). Строим ФСР для уравнения : = , = , записываем общее решение линейного однородного уравнения для уравнения : = .

4). Правая часть специальная: = . Ей соответствует число = = . Устанавливаем классификационный случай – это так как и .

5). Ищем частное решение в виде функции = , вычисляем производные: этой функции = , = . Подставляя функцию и её производные в уравнение , получаем тождество: , откуда находим: = частное решение = .

6). Учитывая = (то есть ), запишем общее решение исходного уравнения: = + , или = + . Вычислим производную: = + .

7). Вычислим: = + =0, = + = + , аналогично, получаем = + = и = + = + . Используя краевые условия: =1, =0, получаем: = и =−1. Записываем частное решение, удовлетворяющее заданным краевым условиям: = .

Ответ: частное решение: = .

Пример 10 – 14: Найти частное решение линейного уравнения: для заданных краевых условий: = , =1.

Решение:

1). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение: , его корни: = .

2). Строим ФСР для уравнения : = , = , записываем общее решение линейного однородного уравнения для уравнения : = .

4). Правая часть специальная: = . Ей соответствует число = = . Устанавливаем классификационный случай – это так как и .

5). Ищем частное решение в виде функции = , вычисляем производные: этой функции = , = . Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество: , откуда находим: =1 частное решение = .

6). Запишем общее решение исходного уравнения: = + , или = . Вычислим производную: = .

7). Краевые условия. Первое: = , второе: =1. Решая полученную систему, получим: = , = и используем их в записи частного решения.

Ответ: частное решение: = .

☻

В рассмотренных примерах Краевые условия применены по аналогии с применением начальных условий. На самом деле, при решении краевых задач необходимо было бы сначала доказать, что условия существования и единственности решения краевой задачи выполнены! Они могут отличаться от условий существования решения задачи Коши!..