Общие сведения. Глава 10. Однородные и неоднородные уравнения Эйлера

Глава 10. Однородные и неоднородные уравнения Эйлера.

До сих пор мы рассматривали линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Правая часть уравнения, представляемая функцией , могла быть как специального вида, так и произвольной. Имеющиеся методы решения позволяют получить общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в любом случае.

Общие сведения.

В настоящей Главе мы должны расширить наши возможности при решении линейных дифференциальных уравнений: допустить использование в качестве коэффициентов уравнения некоторых функций переменной .

Оказывается, решение уравнения с переменными коэффициентами будет вполне доступно только в тех случаях, когда коэффициенты-функции будут специального вида!.. Для линейного уравнения - го порядка запись со специальными функциями-коэффициентами имеет вид:

, (1)

где - постоянные числа; – заданная функция; каждый коэффициент уравнения – степенная функция, причем степень коэффициента равна порядку производной, при которой он стоит.

Уравнение (1) называют уравнением Эйлера. Если его правая часть =0, уравнение называют однородным уравнением Эйлера, если 0 – неоднородным уравнением Эйлера.

Решение линейного дифференциального уравнения Эйлера может осуществляться двумя способами:

Способ- 1. Использование подстановки:

1). Подстановка: = , для > 0, что равносильно: подстановке = .

2). Подстановка: = , для < 0, что равносильно: подстановке = .

Способ- 2. Использование подстановки:

а) - подстановкой: = , если > 0;

б) - подстановкой: = , если < 0.

Каждый из способов приводит уравнение Эйлера к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.