Способ-2 решение однородного дифференциального уравнения Эйлера

Если внимательно проследить все действия, предлагаемые для решения уравнения Эйлера при помощи подстановки = , можно заметить, что для решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (6) применяется форма функции-решения = . Учитывая, что = = , возникает вопрос-догадка – а почему бы не попробовать решение уравнения Эйлера сразу искать в виде подстановки = ?.. Тогда не понадобятся все эти сложности-громоздкости в виде формул (5) (или (7-8))!..

Так как для решения заданного уравнения принимается = , вычислим все необходимые для уравнения (4) производные:

(9)

Подставляя выражения (9) в линейное однородное уравнения Эйлера 3-го порядка, получаем характеристическое уравнение:

. (10)

Нетрудно заметить, что характеристическое уравнение (10) и характеристическое уравнение для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (6) совпадают!

Обобщение: 1). Получение характеристического уравнения непосредственно для уравнения Эйлера простой подстановкой = весьма привлекательно ввиду минимальной (по сравнению с другими способами) трудоёмкости!

2). Опыт решения линейного уравнения (6) оказывается полезным, когда при решении характеристического уравнения (10) требуется учесть (осознанно!) кратность корней и комплексно-сопряжённые корни!..

В рассмотренных ниже Примерах особенности решения линейного уравнения Эйлера применением Способа-2 подробно иллюстрируются.

☺☺

Пример 10 – 04: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

1). Применяем подстановку: = . В заданном уравнении коэффициенты равны: =1, =0, =–2, =0. Используя выражение (10) для заданного уравнения, запишем характеристическое уравнение:

, или .

2). Корни характеристического уравнения Эйлера: =0, =0, =3.

3). Строим ФСР: = , = ∙ , = , записываем общее решение линейного уравнения Эйлера: = .

Замечание: При формировании ФСР в записи функции-решения добавлен множитель . При использовании подстановки = такой учёт кратности характеристического корня кажется неожиданным. Но это очевидно следует из алгоритма решения линейного однородного уравнения (6) с постоянными коэффициентами при использовании подстановки = !..

Ответ: общее решение: = .

Пример 10 – 05: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

1). Применяем подстановку: = . В заданном уравнении коэффициенты равны: =1, =0, =–2, =0. Используя выражение (10) для заданного уравнения, запишем характеристическое уравнения:

, или .

2). Корни характеристического уравнения Эйлера: =0, =0, =3.

3). Строим ФСР: = , = ∙ , = , записываем общее решение линейного уравнения Эйлера: = .

Ответ: общее решение: = .

Пример 10 – 06: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

1). Применим подстановку: = .В нашем случае: , . Используя выражение (10) для заданного уравнения, запишем характеристическое уравнение:

, или .

2). Решая уравнение , имеем: = и ФСР: = , = , записываем общее решение линейного уравнения Эйлера: = .

Замечание: При формировании ФСР в записи функций-решений и применены тригонометрические функции и . При использовании подстановки = такое использование комплексно сопряжённых характеристических корней кажется весьма неожиданным. Но это очевидно следует из алгоритма решения линейного однородного уравнения (6) с постоянными коэффициентами при использовании подстановки = !..

Ответ: общее решение уравнения: = .

Пример 10 – 07: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

1). Применяем подстановку: = (или = ). В заданном уравнении коэффициенты равны: =0, =1, = , =6. Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

, или .

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение: , его корни: =2, =3.

3). Строим ФСР для уравнения : = , = , записываем общее решение линейного уравнения : = .

4). Учитывая = , запишем общее решение исходного уравнения: = .

Ответ: общее решение: = .

Способ-2.

1). Применяем подстановку: = . Учитываем: =0, =1, = , =6. Используя выражение (10) для заданного уравнения, запишем характеристическое уравнение:

, или .

2). Решая уравнение , имеем: =2, =3 и ФСР: = , = , записываем общее решение линейного уравнения Эйлера: = .

Ответ: общее решение: = .

Пример 10 – 08: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

1). Применяем подстановку: = (или = ). В заданном уравнении коэффициенты равны: =0, =1, =−3, =3. Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

, или .

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение: , его корни: =1, =3.

3). Строим ФСР для уравнения : = , = , записываем общее решение линейного уравнения : = .

4). Учитывая = , запишем общее решение исходного уравнения: = .

Ответ: общее решение: = .

Способ-2.

1). Применяем подстановку: = . Учитываем: =0, =1, =−3, =3. Используя выражение (10) для заданного уравнения, запишем характеристическое уравнение:

, или .

2). Решая уравнение , имеем: =1, =3 и ФСР: = , = , записываем общее решение линейного уравнения Эйлера: = .

Ответ: общее решение: = .

Пример 10 – 09: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

1). Применяем подстановку: = (или = ). В заданном уравнении коэффициенты равны: =0, =1, =−3, =4. Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

, или .

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение: , его корни: =2 – кратный.

3). Строим ФСР для уравнения : = , = (учтена кратность характеристического корня), записываем общее решение линейного уравнения : = .

4). Учитывая = , запишем общее решение исходного уравнения: = .

Ответ: общее решение: = .

Способ-2.

1). Применяем подстановку: = . Учитываем: =0, =1, =−3, =4. Используя выражение (10) для заданного уравнения, запишем характеристическое уравнение:

, или .

2). Решая уравнение , имеем: =2 – кратный. Тогда ФСР: = , = , записываем общее решение линейного уравнения Эйлера: = .

Ответ: общее решение: = .

Выводы: 1). Применение для решения уравнения Эйлера Способа-1 с использованием понятия сложной функции наиболее рационально!

2). Так как предполагается решать уравнение Эйлера (4) применением стандартного алгоритма: уравнение (4) → [ готовая технология ] → уравнение (6), то это значит, что трудоёмкость решения линейного уравнения (6) и характеристического уравнения (10) одинаковы.

3). При использовании Способа-2 построение ФСР в случае кратных и комплексных характеристических корней выглядит в значительной степени искусственно: требует трансформирования соответствующих результатов из Способа-1.

☻