Эллипс

Определение 2. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Замечание. При совпадении точек F ₁ и F ₂ эллипс превращается в окружность.

Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F ₁ F ₂, начало координат – с серединой отрезка F ₁ F ₂. Пусть длина этого отрезка равна 2 с, тогда в выбранной системе координат F ₁(- c, 0), F ₂(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и сумма расстояний от нее до F ₁ и F ₂ равна 2 а.

Тогда r ₁ + r ₂ = 2 a, но ,

потому

Введя обозначение b ² = a ²- c ² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса:

(1)

Определение 3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а (2)

Определение 4. Директрисой D_i эллипса, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (1), а уравнением второй степени другого вида.

Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2 а и 2 b (2 a >2 b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

3) Эксцентриситет эллипса e < 1.

Действительно,

4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е <1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )

5) Отношение расстояния r_i от точки эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Доказательство.

Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:

Составим уравнения директрис:

(D ₁), (D ₂). Тогда Отсюда r_i / d_i = e, что и требовалось доказать.