![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
ГЕОМЕТРИЯ
Часть I
ВЕКТОРЫ. Сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарность и компланарность. Координаты вектора в аффинной системе координат. Скалярное и векторное произведения. Свойства, геометрический смысл этих произведений и их выражение в координатах.
Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В, который обозначается символом или одной строчной буквой
(рис. 3.1).
Длиной (или модулем) вектора
называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор. Записи
и
обозначают модули векторов
и
соответственно. Вектор
, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом: орт обозначается
.
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается символом . Длина такого вектора равна нулю и ему можно приписать любое направление.
Векторы и
, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными (
).
Два вектора называются равными (), если они: 1) имеют равные модули; 2) коллинеарны; 3) направлены в одну сторону.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным.
Векторы называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.
Рассмотрим линейные операциями над векторами.
Произведением вектора на действительное число
называется вектор
, длина которого
, а направление совпадает с
, если
, и противоположно
, если
. Из определения следует, что векторы
и
всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Следовательно, равенство
(2.1)
выражает условие коллинеарности двух векторов.
Противоположным вектором называется произведение вектора
на число
, т.е.
. Если
, то орт вектора
находится по формуле
. (2.2)
Суммой двух векторов и
называется вектор
, который идет из начала вектора
в конец вектора
при условии, что вектор
приложен к концу вектора
(рис. 3.2, а) (правило треугольника). Очевидно, что вектор
в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах
и
(рис. 3.2, б) (правило параллелограмма).
Аналогично определяется сумма нескольких векторов: если векторы ,
,…,
образуют ломаную
, то суммой этих векторов является вектор
, замыкающий эту ломаную (рис. 3.2, в) (правило многоугольника).
В частности, если ломаная замыкается, т.е. , то сумма ее звеньев равна нулевому вектору
.
Разностью двух векторов и
называется вектор
, являющийся суммой векторов
и
. Отметим, что вектор
направлен к концу вектора
, если
и
приведены к общему началу (рис. 2.2, б).
Введенные операции умножения вектора на число и сложения векторов называются линейными и удовлетворяют ( и
) следующим свойствам:
1о. ; 2о.
; 3о.
;
4о. ; 5о.
; 6о. 1
=
;
7о. ; 8о.
(
) =
+
.
Скалярное и векторное произведения. Свойства, геометрический смысл этих произведений и их выражение в координатах.
Скалярным произведением двух векторов
и
(обозначается
) называется число, равное произведение модулей перемножаемых векторов на косинус угла
между ними (рис. 3.6). Таким образом, по определению
. (2.16)
Так как произведение есть проекция вектора
на ось, определяемую вектором
(обозначается
), и
- проекция вектора
на ось вектора
(обозначается
), то из (3.16) следует, что
. (2.17)
Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию на него другого вектора. Из (3.17) находим выражения для проекции одного вектора на направление другого:
(2.18)
В частном случае, если , то
(2.19)
Проекция вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов.
Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.
1о. Скалярное произведение коммутативно:
.
2о. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярных множителей:
3о. Скалярное произведение дистрибутивно относительно суммы векторов:
.
4о. (либо
, либо
, либо
). Таким образом, условием ортогональности (перпендикулярности) двух ненулевых векторов
и
является равенство нулю их скалярного произведения, т.е.
Рассмотрим теперь скалярное произведение вектора самого на себя. Такое произведение называется скалярным квадратом вектора:
.
Таким образом,
, (2.20)
т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.
Найдем выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов. Координатные орты имеют длины, равные единице, т.е.
. Далее, так как эти векторы взаимно ортогональны, то
.
Пусть даны два вектора и
. В таком случае
, (2.21)
т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат.
В частности, положив в (2.21) , найдем
.
Отсюда следует, что
. (2.22)
Используя координатную форму скалярного произведения, получаем, что условие ортогональности ненулевых векторов и
имеет вид
. (2.23)
Выражая скалярное произведение и модули векторов через их проекции по формулам (3.21) и (3.22), получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами:
. (2.24)
Пусть дан вектор и ось l, которая составляет с базисными векторами
соответственно углы
. Найдем
. Для этого зададим направление оси l ортом
. Тогда, согласно (2.19)
. (2.25)
Будем предполагать, что в пространстве R3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c, который определяется следующими тремя условиями:
1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е. êc ê = êa ê êb êsin (a^b).
2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.
3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.
Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab] или
c = a´ b.
Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ab] = 0, в частности, [aa] = 0. Векторные произведения ортов: [ij] = k, [jk] = i, [ki] = j.
Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), то
[ab] = =`i (a2b3 - a3b2) - `j (a1b3 - a3b1) + `k (a1b2 - a2b1).
Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c.
Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами
a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3), то
abc = .
Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.
Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка
a, b, c - левая, то a b c <0 и V = - a b c, следовательно V = ê a b c ê.
Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом а о. Символом r=ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ или ê а ê, ê АВ ê обозначаются модули векторов а и АВ.
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. Теорема о параметрическом уравнении прямой в пространстве. Теорема об общем уравнении плоскости в пространстве. Нормальный вектор и теорема о расстоянии от точки до плоскости.
В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.
Пусть прямая в аффинной системе координат Oxy определяется уравнением
Ax + By +C = 0. (1)
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 515 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!