Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Рассмотрим вопрос о значениях, которые может принимать некоторая величина х в зависимости от случайных, т.е. не поддающихся учету причин. При этом каждое значение xi, полученное в результате единичного испыта-

ния, является случайной величиной, вероятность появления которой pi. Зависимость между значением случайной величины и ее вероятностью называется распределением этой величины.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит ма- тематическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случай- ной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Если случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

причем предполагается, что ряд, находящийся в правой части равенства, сходится абсолютно и сумма всех вероятностей pi равна единице.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой по- стоянной: M(C)=C.

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M(X1 +X2 +K+Xn)=M(X1)+M(X2)+K+M(Xn).

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомно- жителей: M(X1X2KXn)=M(X1)M(X2)KM(Xn).

4. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании: M(X)=np.

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величи- ны вокруг математического ожидания служат, дисперсия и среднее квадрати- ческое отклонение. Дисперсией случайной величины Х называют математи-

ческое ожидание квадрата отклонения: D(X)= M [X - M (X)]2. Дисперсию

удобновычислятьпоформуле D(X)=M(X2)-[M(X)]2.Дисперсияобладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной равна нулю: D(C)= 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, пред- варительно возведя его в квадрат: D(CX)= C 2 D(X).

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(X1 + X2 +K+ Xn)= D(X1)+ D(X2)+K+ D(Xn).

4. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X)=npq.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратныйкореньиздисперсии s(X)= D(X).