Промежутки возрастания и убывания функции. Максимум и минимум функции

Основные элементарные функции их свойства и графики.

Определение производной функции в точке. Таблица производных.

Определение производной функции в точке. 

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), и - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .


Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует. 


Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.


Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b). 


Операция нахождения производной называется дифференцированием. 


Проведем разграничения в природе понятий производной функции в точке и на промежутке: производная функции в точке – это есть число, а производная функции на промежутке – это есть функция.

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ:

3) Производная сложной функции.

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

С нашей точки зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)). 

К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx). Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а - целая рациональная функция (смотрите классификацию элементарных функций), тогда .

В свою очередь, g(x) также может быть сложной функцией. Например, . Условно такое выражение можно обозначить как . Здесь f – функция синуса, - функция извлечения квадратного корня, - дробная рациональная функция. Логично предположить, что степень вложенности функций может быть любым конечным натуральным числом .


Часто можно слышать, что сложную функцию называют композицией функций. 


 Формула нахождения производной сложной функции. 

 


Промежутки возрастания и убывания функции. Максимум и минимум функции.