Моделирование вытеснения при конвективном переносе (HCh). Обоснование алгоритма

Уравнение переноса.

Для каждого независимого компонента уравнение конвективной миграции в гомогенной среде имеет вид: u(∂C/∂x)+ ∂C/∂t+∂N/∂t=0, где u – скорость течения воды, C – концентрация компонента в единичном объеме воды, N – его концентрация в породе, отнесенная к единичному объему воды, x – расстояние, t – время.

Конечно-разностное представление этого уравнения по явной схеме: решение в концентрациях. Это соотношение между концентрациями неудобно для моделирования, так как перемещать из одного реактора в другой нужно определенное количество вещества. Можно перейти к полным массам компонентов в реакторах.

Краевые условия:

Граничным условием в ячейке с номером i = 0 при x = 0 и любом k (времени) является состав вытесняющего раствора. Он может изменяться со временем, но всегда известен. Начальным условием в ячейках с любым номером i по пути x является состав системы (и породы и воды) на время моделирования равное нулю (k = 0).

1 ШАГ – РАСЧЕТ НАЧАЛЬНЫХ СОСТАВОВ СИСТЕМЫ (ПЕРВАЯ ВОЛНА H HCH)

Полагаем начальными H природные составы. Способ их получения либо прямым заданием для каждой ячейки или вычислением. В самом простом случае положим в каждой ячейке взаимодействие одинакового по x природного раствора с одинаковой же породой

[*] = [2] + [3], где [*] – состав системы, [2] – состав породы, [3] – состав природного раствора. В данном случае граничное условие может быть не определено, т.к. от него не зависит распределение составов систем, получаемых при взаимодействии растворов 2 и 3. Или оно может быть определено такой же формулой.

2 ШАГ – РАСЧЕТ СОСТАВОА ЯЧЕЕКHРЕАКТОРОВ (ВТОРИЧНАЯ ВОЛНА – HCH)

В системе HCh решение во времени производится последовательным перемещением элементарного количества раствора из ячейки в ячейку. На каждую вторичную волну только одна элементарная порция раствора, полностью заполняющая оставшееся от породы место в ячейке, перемешается от нулевой ячейки (граничное условие) до последней.

В результате одного такого акта в каждой модельной ячейке фиксируется состав системы [*], полученный при взаимодействии воды, поступающей из предыдущей по пути миграции ячейки [A], с породой оставшейся после прохождения предыдущей элементарной порции раствора (с предыдущей волны) {S}. [*] = [A] + {S}. Такой способ решения определил название последовательных вычислений во времени – волна. Это получение последовательности составов во всех ячейках реакторах по пути миграции при перемещении элементарной порции раствора. Ре

зультаты одной волны НЕ являются временным срезом составов системы по пути миграции. Отсюда следует, что для получения распределения составов системы на некоторый фиксированный момент времени необходимо использовать несколько волн. В каждой следующей волне элементарная порция раствора взаимодействует с тем со ставом породы, который получился после прохождения предыдущей порции. Для получения интересующего результата мы полагаем, что как только элементарная порция раствора переместилась из ячейки i – 1 в ячейку i, на ее место в ячейку i – 1 пришел раствор из ячейки i – 2, и т.д. В первую ячейку за тот же шаг во времени поступила порция раствора с границы из нулевой ячейки (ГУ). Поэтому для получения временного среза на фиксированное время из записи в системе волн необходимо читать матрицу результатов по диагонали.

Например, номер волны k означает, что уже было запущено k элементарных

порций раствора из нулевой ячейки – граничного условия. Самая первая порция воды (первая волна) перемещена в ячейку i = k. Следующая за ней порция находится в ячейке i = k – 1 и запущена во вторую волну. Третья порция раствора, выпущенная с границы в волну 3, находится в ячейке i = k – 2. И т.д. Это не значит, что в строке k = 3 не записаны составы всех ячеек, следующих за интересующей. Они записаны, но не относятся к данному временному срезу.

Возможно считывание матрицы по строкам и по колонкам. Последовательность составов по колонке для выбранной ячейки реактора i показывает смену составов во времени, своего рода «выходная кривая». Последовательность составов по

строке покажет трансформации системы при пропускании одной элементарной порции раствора.

Таким образом, для получения зависимости составов от времени нужно считывать матрицу по колонка, для зависимости от пути – по диагонали, восходящей из начала волны, соответствующей нужному времени.