П.2. Разложение вектора по базису

Определение. Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

, (1)

то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и –базис . Возьмем произвольный вектор . Так как оба вектора и коллинеарные одной и той же прямой L, то . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как , то найдется (существует) такое число , что и тем самым мы получили разложение вектора по базису векторного пространства .

Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства :

и , где . Тогда и используя закон дистрибутивности, получаем:

.

Так как , то из последнего равенства следует, что , ч.т.д.

2) Пусть теперь Р произвольная плоскость и – базис . Пусть произвольный вектор этой плоскости. Отложим все три вектора от какой-нибудь одной точки этой плоскости. Построим 4 прямых. Проведемпрямую , на которой лежит вектор , прямую , на которой лежит вектор . Через конец вектора проведем прямую параллельную вектору и прямую параллельную вектору . Эти 4 прямые высекают параллелограмм. См. ниже рис. 3. По правилу параллелограмма , и , , – базис , – базис .

Теперь, по уже доказанному в первой части этого доказательства, существуют такие числа , что

и . Отсюда получаем:

и возможность разложения по базису доказана.

рис.3.

Теперь докажем единственность разложения по базису. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства : и . Получаем равенство

, откуда следует . Если , то , а т.к. , то и коэффициенты разложения равны: , . Пусть теперь . Тогда , где . По теореме о коллинеарностидвух векторов отсюда следует, что . Получили противоречие условию теоремы. Следовательно, и , ч.т.д.

3) Пусть – базис и пусть произвольный вектор. Проведем следующие построения.

Отложим все три базисных вектора и вектор от одной точки и построим 6 плоскостей: плоскость, в которой лежат базисные векторы , плоскость и плоскость ; далее через конец вектора проведем три плоскости параллельно только что построенным трем плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают параллелепипед:

рис.4.

По правилу сложения векторов получаем равенство:

. (1)

По построению . Отсюда, по теореме о коллинеарности двухвекторов, следует, что существует число , такое что . Аналогично, и , где . Теперь, подставляя эти равенства в (1), получаем:

(2)

и возможность разложения по базису доказана.

Докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису :

и . Тогда

. (3)

Заметим, что по условию векторы некомпланарные, следовательно, они попарно неколлинеарные.

Возможны два случая: или .

а) Пусть , тогда из равенства (3) следует:

. (4)

Из равенства (4) следует, что вектор раскладывается по базису , т.е. вектор лежит в плоскости векторов и, следовательно, векторы компланарные, что противоречит условию.

б) Остается случай , т.е. . Тогда из равенства (3) получаем или

. (5)

Так как – базис пространства векторов лежащих в плоскости, а мы уже доказали единственность разложения по базису векторов плоскости, то из равенства (5) следует, что и , ч.т.д.

Теорема доказана.

1) Существует взаимно однозначное соответствие между множествомвекторов векторного пространства и множеством действительныхчисел R.

2) Существует взаимно однозначное соответствие между множествомвекторов векторного пространства и декартовым квадратом множества действительных чисел R.

3) Существует взаимно однозначное соответствие между множествомвекторов векторного пространства и декартовым кубом множества действительных чисел R.

Доказательство. Докажем третье утверждение. Первые два доказываются аналогично.

Выберем и зафиксируем в пространстве какой-нибудь базис и устроим отображение по следующему правилу:

, (6)

т.е. каждому вектору поставим в соответствие упорядоченный набор его координат.

Так как при фиксированном базисе каждый вектор имеет единственный набор координат, то соответствие, задаваемое правилом (6) действительно является отображением.

Из доказательства теоремы следует, что различные векторы имеют различные координаты относительно одного и того же базиса, т.е.отображение (6) является инъекцией.

Пусть произвольный упорядоченный набор действительных чисел.

Рассмотрим вектор . Этот вектор по построению имеет координаты . Следовательно, отображение (6) является сюръекцией.

Отображение, которое одновременно инъективное и сюръективное является биективным, т.е. взаимно однозначным, ч.т.д.

Следствие доказано.

Теорема. (О равенстве двух векторов.)

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координатыотносительно одного и того же базиса.

Доказательство сразу же вытекает из предыдущего следствия.