П.1. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве

Определение. Любое конечное множество векторов называется системой векторов.

Определение. Выражение , где называется линейной комбинацией системы векторов , ачисла называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Пусть L, Р и S – прямая, плоскость и пространство точексоответственно и . Тогда – векторные пространствавекторов как направленных отрезков на прямой L, на плоскости Р и впространстве S соответственно.

Определение. Базисом векторного пространства называется любой ненулевой вектор , т.е. любой ненулевой вектор коллинеарныйпрямой L: и .

Обозначение базиса : – базис .

Определение. Базисом векторного пространства называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов пространства .

рис.1.

, где , – базис .

Определение. Базисом векторного пространства называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (т.е. не лежащих в одной плоскости) пространства .

рис.2.

– базис .

Замечание. Базис векторного пространства не может содержать нулевого вектора: в пространстве по определению, в пространстве двавектора будут коллинеарные, если хотя бы один из них нулевой, впространстве три вектора будут компланарные, т.е будут лежать в одной плоскости, если хотя бы один из трех векторов будет нулевой.