Як представити рівняння руху САУ у формі Коші?

В целях формализации процесса составления исходных дифференциальных систем используют такие методы, как "Метод контурных токов", "Метод узловых потенциалов" и их аналоги, имеющиеся во всех энергетических доменах. В результате их применения получается единая система:

(3) где: — обобщенные координаты системы, в том числе (для САУ) ошибка — и регулируемая величина — ;

– полиномы от оператора , определяемые свойствами САУ. Они могут быть постоянными или зависящими от условий работы системы;

— внешние координаты — задающие и возмущающие воздействия;

— алгебраизированный оператор дифференцирования.

Совокупность уравнений (1) может быть решена относительно любой обобщенной координаты.

Для удобства и формализации решений систему уравнений (3) могут представить в одной из пяти стандартных форм:

• в форме Коши;
• в пространстве состояний;
• в виде передаточных функций — .

Рассмотрим форму Коши, как способ представления уравнение динамики движения системы. При этом используется матричная форма записи системы дифференциальных уравнений решенных исключительно относительно первой производной координат САУ.

(4)

где:

— собственные координаты системы, в которые входят ошибка системы , воздействие на объект , выходная координата — ,...;

_n — постоянные или переменные коэффициенты, определяемые структурой и параметрами системы автоматического управления;

— воздействия на систему — сигнал задания или помехи .

Уравнения могут быть решены относительно любой из фазовых координат .

В общем случае система дифференциальных уравнений (4) является нелинейной. Поэтому ее использование для решения задач анализа и синтеза САУ в аналитической форме затруднено. Поэтому в теории автоматического управления широко используется методы линеаризации систем дифференциальных уравнений. Наиболее часто применяемым является метод малых отклонений, основанный на представлении нелинейных характеристик отрезками прямых и замене действительных значений переменных отклонениями от выбранного положения равновесия. Применение этого метода к дифференциальным уравнениям базируется на способах, используемых при линеаризации статических характеристик САУ, как это было показано ранее.

В последнее время для представления уравнения движения САУ широко используется метод пространства состояний, который представляет собой ничто иное, как представления системы (4) в матричной форме записи.

Уравнения движения произвольной системы автоматического управления можно записать в виде:

для I=1,..N (5)

где – Х- координаты системы. Частью из них можно управлять с помощью M уравнений -, характеризующих влияние функций управления, внешних возмущений или изменений параметров. — некоторая функция всех перечисленных аргументов. Эти уравнения записываются на основе физических законов Ньютона, Кирхгофа, математического или энергетического баланса и т.п. При этом выходные сигналы САУ Y определяется векторным уравнением вида:

(6)

где – некоторая функция координат системы, а также внешних возмущений и управляющих воздействий.

Далее мы будем иметь дело с векторной формой записи уравнений (5) и (6) в виде:

,

.

где

— вектор состояния системы;

— вектор внешних воздействий на САУ, включающий в себя управляющие и возмущающие воздействия на САУ;

— вектор выходных сигналов САУ.

Из всего множества таких систем будем рассматривать только те разделы, которые представляют фундамент теории линейных систем автоматического управления, описываемых уравнениями:

(7)

где — матрица размерности с элементами ;

— матрица размерности с элементами ,

— матрица размерности с элементами ,

— матрица размерности с элементами ,