Вопрос. Затухание колебания. Дифференциальное уравнение затухающего колебания. Выражение для смещения. Коэффициент затухания. Логарифмический коэффициент затухания

Колебаниями называются процессы, повторяющиеся через определенные промежутки времени (переменный электрический ток, работа сердца и легких).

В реальных системах, кроме возвращающей силы, действуют силы сопротивления среды, что приводит со временем к уменьшению амплитуды колебаний, такие колебания называются затухающими.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

m =-kx-r

или

+2β + =0, где 2β =r/m =k/m

– круговая частота собственных колебаний,

β – коэффициент затухания

Решение уравнения имеет вид:

x=А₀e^-βtcos( t+φ₀)

Амплитуда затухающих колебаний:

A=±A₀e^-Bt

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и определяется формулой:

T= =

При очень малом трении () период затухающего колебания близок к периоду незатухающего свободного колебания:

T=2π/

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания: чем выше β, тем сильнее тормозящее действие среды и тем быстрее уменьшается амплитуда.

На практике, степень затухания характеризуется логарифмическим декрементом затухания, величина, равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колебаний, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:

λ=ln =lne^-βT

Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания связаны простой зависимостью:

λ=βT

T-период затухания колебаний

β-коэффициент затухания

Вопрос 2. Вынужденные колебания. Автоколебания.

Вынужденными колебаниями наз. незатухающие колебания системы, которые вызываются действием внешней периодической силы. Если сила не будет периодической, то не возникнет и периодических колебаний. Например, если сила постоянна, то возникает статическое отклонение системы.

Примеры: колебания гребных винтов, лопаток турбины, качелей при раскачивании, мостов и балок при ходьбе и т.д. Сила, вызывающая вынужденные колебания, наз. вынуждающей (возмущающей) силой.

Если внешняя вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону , то в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой внешней вынуждающей силы.

Амплитуда вынужденного колебания прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания среды и круговых частот собственного и вынужденного колебаний.

Резонанс. Явление, при котором частота вынуждающей силы равна собственной частоте тела.

Автоколебания – незатухающие колебания, совершенные системой за счет ее внутренней энергии. Системы – автоколебательными. Автоколебания не определяются внешними воздействиями. Автоколебательные системы можно представить тремя основными элементами: 1) собственно колебательная система, 2) источник энергии, 3) регулятор поступления энергии в собственно колебательную систему. Колебательная система каналом обратной связи воздействует на регулятор, информируя регулятор о состоянии этой системы.