Определение, обозначения и типы матриц

Определение 1. Матрицей размеров называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Обычно принято обозначать матрицы большими буквами, а саму таблицу чисел заключать в круглые скобки. Например, -- матрица размеров , -- матрица размеров , или другими словами, матрица-столбец, -- матрица размеров , или матрица-строка. Иногда вместо круглых скобок в записи матрицы используют квадратные или двойные прямые линии. Например, или . Если элементы матрицы обозначаются буквами, то для этого обозначения используется та же буква, что и для обозначения матрицы, только не большая, а малая, и эта буква снабжается двумя индексами. Например, матрицу размеров можно записать в виде В этой записи означает, что элемент находится в строке с номером и столбце с номером , то есть первый индекс указывает номер строки, а второй -- номер столбца. Например, в матрице , . Наряду с указанным обозначением элементов матрицы используется также обозначение , в котором номер строки указывает верхний индекс, а номер столбца -- нижний. Укажем основные типы матриц. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Число строк или, что то же самое, число столбцов в ней называется порядком матрицы. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. Нулевая матрица обозначается обычной цифрой 0. Как правило, из контекста ясно, является ли этот 0 числом или матрицей. Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю матрицы. Например, в матрице главную диагональ образуют числа . Отметим, что при обозначении элементов матрицы буквами с двумя индексами у элементов главной диагонали и только у них индексы будут равны друг другу. Так у квадратной матрицы порядка элементами главной диагонали являются элементы , . Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Примеры диагональных матриц: Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Например, верхние треугольные матрицы: Нижние треугольные матрицы: Верхняя треугольная матрица иногда называется правой треугольной, а нижняя треугольная -- левой треугольной. Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1. Для обозначения единичной матрицы обычно используется буква . Порядок матрицы при этом обычно ясен из контекста. Например, -- единичная матрица третьего порядка. Из определения единичной матрицы видно, что ее элементы равны нулю, если индексы различны, и равны 1, если индексы совпадают. В математике таким свойством обладает величина , называемая символом Кронекера: Поэтому . Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы, стоящие на одинаковых местах, равны друг другу.

2) Действия над матрицами

Сложение определено только для матриц одинаковых размеров. Определение 14. 2 Суммой матриц и размеров является матрица таких же размеров, у которой , , . Другими словами, при сложении матриц складываются элементы, стоящие на одинаковых местах. Например, Определение 14. 3 Произведением матрицы размеров на число называется матрица таких же размеров, у которой , , . Другими словами, при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число. Например, . Операцию вычитания матриц можно определить следующим способом: что соответствует вычитанию элементов, стоящих на одинаковых местах. Используя операции сложения и умножения, мы можем находить линейные комбинации матриц, то есть выражения вида , где -- числа, -- матрицы одинаковых размеров. Пример 14. 1 Пусть , . Найдем : Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называемые линейными операциями, обладают следующими свойствами:

2 -- свойство коммутативности;

3 -- свойство ассоциативности;

4 ;

5 ;

6 -- свойство дистрибутивности;

7 ;

8 ;

9 .Здесь -- матрицы, -- числа, 0 -- нулевая матрица. Отметим, что перечисленные здесь свойства совпадают со свойствами векторов, из теоремы.