Тема 1.8. Средние величины в статистике, общие принципы их применения. Степенные и структурные средние величины

Средняя величина является наиболее распространенным статистическим показателем, с помощью которого дается характеристика совокупности однотипных явлений по количественно варьирующему признаку. Она показывает уровень признака в расчете на единицу совокупности. С помощью средних проводится сравнение различных совокупностей по варьирующим признакам, изучаются закономерности развития явлений и процессов общественной жизни.

В статистике применяются два класса средних: степенные и структурные.

Общая формула степенной средней имеет следующий вид:

,

где – степенная средняя:

х_i = { х ₁; х ₂; ¼; х_n } – варианты (числовые значения признака у единиц совокупности);

– частоты, показывающие, сколько раз встречается соответствующее значение признака у единиц совокупности;

m – показатель степенной средней.

Наиболее часто из степенных средних в статистике применяются средняя арифметическая (m = 1), средняя гармоническая (m = –1), средняя геометрическая (m = 0) и средняя квадратичная (m = 2).

К структурным средним относятся мода (наиболее часто встречающееся значение признака), медиана (варианта, делящая совокупность на две равные части), квартили (варианты, делящие совокупность на четыре равные части) и децили (варианты, делящие совокупность на десять равных частей).

Выбор вида средней в каждом конкретном случае определяется целью исследования и характером имеющихся исходных данных.

Виды степенных средних:

-арифметическая;

-гармоническая;

-геометрическая;

-квадратическая.

Рассмотрим методику исчисления средних величин.

Пусть имеются следующие данные (в руб.) о месячной заработной плате 20 рабочих: 1200, 1230, 1230, 1242, 1242, 1242, 1255, 1255, 1255, 1255, 1255, 1255, 1266, 1266, 1266, 1266, 1270, 1270, 1280, 1300.

Необходимо рассчитать среднюю заработную плату рабочего. Для этого заработную плату, начисленную всем 20 рабочим, то есть фонд заработной платы, следует разделить на число рабочих. Фонд заработной платы получим как сумму индивидуальных уровней заработной платы. Таким образом, для решения поставленной задачи по имеющимся данным необходимо воспользоваться формулой средней арифметической простой. Обозначим индивидуальные значения признака через х_i, тогда расчет средней арифметической простой можно представить таким образом:

= +

+

Имеющиеся данные можно предварительно сгруппировать, то есть построить дискретный вариационный ряд. В этом ряду каждому значению признака (варианта) будет соответствовать частота, показывающая, сколько единиц совокупности обладают данным значением признака. Тогда для определения фонда заработной платы достаточно просуммировать произведения уровней заработной платы на соответствующие им частоты (число рабочих). Исчисление среднего уровня заработной платы будет проводиться, таким образом, по формуле средней арифметической взвешенной:

Проведем расчет средней арифметической взвешенной.

Таблица 1.

Исходные данные	Расчетные показатели
Уровень заработной платы, руб. xi	Численность рабочих, чел. fi	Фонд заработной платы xi fi	Накопленные частоты Si
Итого:	å fi = 20	å xi fi = 25 100

Если исходные данные таковы, что для каждой варианты известна не частота, а показатель (статистический вес), являющийся произведением варианты на соответствующую частоту, то средняя величина исчисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

Продолжим наш пример. Пусть исходными данными для расчета средней заработной платы являются уровень заработной платы для каждой группы рабочих и начисленный им фонд заработной платы. Тогда расчетным показателем будет численность рабочих.

Таблица 2.

Исходные данные	Расчетные показатели
Уровень заработной платы, руб. xi	Фонд заработной платы, руб. Fi	Численность рабочих, чел.
Итого:	å Fi = 25100	å = 20

В данном случае для расчета среднего уровня заработной платы мы воспользовались формулой средней гармонической взвешенной.

Исходные данные могут быть представлены не только в виде дискретного, но и интервального вариационного ряда. Покажем расчет средней арифметической взвешенной на следующем условном примере.

Таблица 3.

Исходные данные	Расчетные показатели
Группы рабочих по уровню заработной платы, руб.	Численность рабочих, чел. fi	Середина интервала xi	Произведение вариантов на частоты xi fi	Накопленные частоты Si
1200 – 1225 1225 – 1250 1250 – 1275 1275 – 1300		1212,5 1237,5 1262,5 1287,5	12 125 30 937,5 63 125 19 312,5
	å fi = 100		å xi fi =125 500

Среднюю арифметическую взвешенную в вариационных рядах с равными интервалами можно рассчитать способом моментов, который основан на использовании ее математических свойств:

,

где – момент первого порядка ;

d – величина интервала;

c – произвольное число (удобнее в качестве "с" выбрать варианту, находящуюся в середине ряда или имеющую наибольшую частоту).

Вычисление средней арифметической взвешенной способом моментов показано в таблице.

Таблица 4.

Исходные данные	Расчетные показатели
Группа рабочих по уровню заработной платы, руб.	Численность рабочих, чел. fi	Середина интервала xi	с = 1262,5 xi – с	d = 25
1200 – 1225 1225 – 1250 1250 – 1275 1275 – 1300		1212,5 1237,5 1262,5 1287,5	–50 –25 +25	–2 –1 +1	–20 –25 +15
Итого:					–30

Альтернативный признак может принимать два значения – w₁ = 0 и w₂ = 1 с весами соответственно q и p. Среднее значение альтернативного признака исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

,

где p – доля единиц в совокупности, обладающих данным признаком ;

q – доля единиц в совокупности, не обладающих данным признаком;

p + q = 1.

Например, имеются следующие данные о посещаемости занятий в группах:

Таблица 5.

Группа	на 1 сентября
присутствовало человек	отсутствовало человек
Итого:

В целом по совокупности из 100 человек на занятиях присутствовало 90.

Тогда

n = 100; m = 90; ; .

Среднее значение (уровень) посещаемости – .

Структурные средние. Мода (М_о) для дискретного вариационного ряда определяется как варианта, имеющая наибольшую частоту. Используя данные табл. 1 можем записать, что М_о = 1255 руб., т.е. наибольшее число рабочих имеет заработную плату 1255 руб.

В интервальном вариационном ряду (с равными интервалами) мода исчисляется по формуле:

,

где – нижняя граница модального интервала;

d – величина интервала;

– частота интервала, предшествующая модальному;

– частота модального интервала;

– частота интервала, следующего за модальным.

По данным табл. 3 имеем:

,

то есть в данной совокупности рабочих наиболее часто встречается заработная плата в размере 1260,4 руб.

Для определения медианы (M _e) прежде всего, исчисляют ее порядковый номер по формуле и строят ряд накопленных частот. Накопленной частоте, которая равна порядковому номеру медианы или первая его превышает, в дискретном вариационном соответствует варианта, а в интервальном вариационном ряду – медианный интервал. Расчет медианы в интервальном вариационном ряду проводится по следующей формуле:

,

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

– сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала.

По данным табл. 1

,

следовательно, первая накопленная частота, превышающая порядковый номер медианы, равна 12. Соответствующая ей варианта "1255 руб." является медианой. Это означает, что половина рабочих имеет заработную плату 1255 руб. и более.

Используя данные табл. 3. имеем , следовательно, медианный интервал – "1250 – 1275".

Рассчитаем медиану по формуле:

Таким образом, в данной совокупности половина рабочих получала заработную плату 1257,5 руб. и ниже.

Методика определения квартилей (Q) и децилей (Д) аналогична методике исчисления медианы. Покажем расчет первого квартиля и первого дециля по данным табл. 3.

Формула для расчета первого квартиля имеет вид:

Порядковый номер первого квартиля равен , тогда получим:

,

следовательно одна четвертая часть всех рабочих имела заработную плату не выше 1240 руб.

Для расчета первого дециля используют следующую формулу:

.

Порядковый номер первого дециля составляет

.

руб.,

т.е. одна десятая часть всех рабочих зарабатывала не более 1225 руб.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение средней величины.

2. Охарактеризуйте особенности и значение средних величин в анализе социально-экономических явлений.

3. Какие виды средних величин вы знаете?

4. Расскажите о свойствах средней арифметической.

5. В чем состоят особенности структурных средних? Поясните методику определения структурных средних в дискретных и интервальных рядах распределения.