Наклонная ас

Y=kx+b,k-?,b-?

Рассматриваем длину отрезка MN

Замечание при К=0, y=b – гор. асс.

Интегралы. Вопрос 1.

Понятие первообразной, её свойство.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x).

Пример:

Функция F(x)=sin(x) является первообразной для функции f(x)=cos(x) на всей числовой прямой, так как при любом значении x(sin(x))’=cos(x).

Но следует не забывать про коэффициент С! для любого числа С. Например, для функции f(x)=cos(x) первообразной является не только sin(x), но и функция sin(x)+C, так как (sin(x)+C)’=cos(x)

Свойства первообразной:

1) какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;

2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство

Ф(x)= F(x)+C.

Доказательство.

1) По условию функция F — первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F'(х)= f (х) для любого х∈1, поэтому

(F(x) + C)' = F'(x) + C'=f(x)+0=f(x),

т. е. F(x) + C — первообразная для функции f.

2) Пусть Ф (х) — одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф'(x) = f (х) для всех x∈I.

Тогда (Ф(x) - F (x))' = Ф'(х)-F’ (х) = f(x)-f(x)=0.

Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что разность Ф(X) — F(х) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.

Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(X) — F(x)=С, что и требовалось доказать. Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу.

Интегралы. Вопрос 2.

Неопределенный интеграл (определения, свойства)

Пусть функция задана и непрерывна на [a,b].

Функция F(x) называется первообразной для f(x) на [a,b] если F’(x)=f(x)

Пример. F(x)=x²,F(x)=

Теорема: любые 2 первообразной одной функции отличны на const.

Доказательство: f(x) [a,b], но

Пусть

Пусть =F₂(x)-F₁(x) применим т.Лагранжа

Определение. Множество всех первообразных функций f(x) называется неопределенным интегралом.

Свойства неопределенного интеграла.

1.) Производная от интеграла равна f(x)

2.) d(

3.)

4.) Главное свойство

Интегралы. Вопрос 3.

Простейшие интегралы, таблица обращения производных.