Геометрический смысл производной

Производная в точке (x₀) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.

Вопрос №4

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Из существования производной функции одной переменной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке.

Теорема. если функция z=f(M) дифференцируема в точке М, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Если функция z=f(M) дифференцируема в точке М, то, как следует из соотношения ,(где А и В- некоторые независящие от x и у числа, а и - бесконечно малые при X => 0, y=>0 функции.), ,а это и означает, что функция непрерывна в точке М.

Вопрос №5

Правила дифференцирования(производная константы, суммы, произведения, частного)

Вопрос №6

Производные основных элементарных функций.

Вопрос №7

Производная сложной функции.

Пусть - функция, дифференцируемая в точке , - функция, дифференцируемая в точке , причем . Тогда - сложная функция независимого переменного , дифференцируема в точке и ее производная в этой точке вычисляется по формуле .

Обычно называют внешней функцией, а - внутренней. При вычислении производной сложной функции, сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.

Теорема: Пусть функция непрерывна в точке ,а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство:

Возьмём из X любую последовательность точек сходящуюся в точке . Тогда в силу непрерывности функции в точке имеем , т.е. соответствующая последовательность точек сводится к точке . В силу же непрерывности функции в точке получаем . Следовательно предел функции в точке равен ей значению в этой точке, что и доказывает непрерывность сложной функции в точке .

Вопрос №8

Обратная функция её производная.

Пусть X и Y – некоторые множества и путь задана функция f, т.е. множество пар чисел , в котором каждое число x входит в одну и только одну пару, а каждое число y,- по крайней мере, в одну пару. Если в каждой паре этого множества числа x и y поменять местами, то получим множество пар чисел (у;x), которое называется обратной функцией к функции f. Обратную функцию будем обозначать символом . Отметим, что обратная функция, вообще говоря, не является функцией так как каждое число y может входить не только в одну, но и в несколько пар. Так, например, для функции y=x обратная функция x=y – однозначна (каждое число y входит только в одну пару), для функции y=x^2 обратная функция двузначна.

Из определения следует, что если обратная функция однозначна, т.е. является функцией в обычном смысле, то множество значений Y функции f является областью определения обратной функции . Пусть, например, функция определена на отрезке , отрезок является множеством её значений и каждое соответствует ровно одному x из . Тогда, по определению, на отрезке определена однозначная обратная функция , множеством значений которой служит отрезок .

Производная обратной функции.

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к , а ее производная вычисляется по формуле .

Вопрос №9

Обратные тригонометрические функции и их производные.

Получение функции arccos

Дана функция y = cosx. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arccosx функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения — [0;π]. На этом отрезке y = cosx строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0;π] существует обратная функция y = arccosx, график которой симметричен графику y = cosx на отрезке [0;π] относительно прямой y = x.

Получение функции arcsin

Дана функция y = sinx. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arcsinx функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений . Так как для функции y = sinx на интервале каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция y = arcsinx, график которой симметричен графику функции y = sinx на отрезке относительно прямой y = x.

Вычисление производных обратных тригонометрических функций.

Функция является обратной для функции x=sin(y). Так как x’(y)=cos(y), по теореме о производной обратной функции получаем: . Корень взять со знаком плюс, так как cos(y) положителен на интервале . Учитывая, что sin(y)=x окончательно имеем

Функция является обратной для . Так как

Вопрос №10

Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей: Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x. . Отсюда видно, что искомая производная равна .

Вопрос №11

Производная параметрически заданной функции.

Пусть функции и имеют производные, причем на некотором промежутке, следовательно строго монотонна и обратная функция однозначна и имеет производную, по теореме о производной обратной функции:

Вопрос №12

Производные высших порядков

Назовем f’(x) производной первого порядка функции f(x). Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка(второй производной) этой функции. Производная от второй производной называется производной третьего порядка и так далее. Производные, начиная со второй называются производными высших порядков.

n-ые производные некоторых функций:

Вопрос №13

Касательная и нормаль к плоской кривой.

Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x₁; y₁) на ней.
Угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x₁; y₁) равен значению f '(x₁) производной y' = f '(x) при x = x₁, Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде y - y₁ = f '(x₁)(x - x₁).

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение

записывается в виде

Вопрос №14

Дифференциал, его свойства, приложение к приближенным вычислениям.

По определению: , тогда бесконечно малая величина. - формула полного приращения функции, где главная или линейная часть приращения функции или дифференциал.

Свойства дифференциала:

Приближенные вычисления с помощью дифференциалов:

Вопрос №15

Определение экстремума. Теоремы Ролля, Ферма, Лагранжа, Коши.

Точки экстремума – точки функции, значение производных в которых равно 0. Точки минимума и максимума функции.

Точка максимума – точка, в которой достигается наибольшее значение функции в локальной окрестности.Точка минимума – точка, в которой достигается наименьшее значение функции в локально окрестности.Экстремум – наибольшее, наименьшее значение функции в данной локально окрестности.

Теорема Ферма: Пусть f(x) задана и непрерывна на [a,b], f(c)=extr и f(c)- существует, то f’(c)=0. Теорема Ферма – это необходимое условие экстремума, обратное не верно!

Теорема Роля: Пусть f(x) задана и непрерывна на [a,b], f’(x) конечна на (a,b); f(a)=f(b), следовательно, существует хотя бы одна точка c (a,b), что f’(c)=0.

Доказательство: Функция внутри интервала принимает либо наибольшее, либо наименьшее значение внутри интервала и так как f’(x) конечна, то по теореме Ферма f’(x)=0.

Теорема Лагранжа: Путь f(x) задана и непрерывна на [a,b], f’(x) конечна на (a,b), следовательно, существует хотя бы одна точка c (a,b), что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: вспомогательная функция F(x):

Теорема Коши: Пусть f(x) и g(x) заданы и непрерывны на [a,b], f’(x) и g’(x) конечны на (a,b) g(x) 0, следовательно, существует хотя бы одна точка с (a,b), такая что:

.

Доказательство аналогично т. Лагранжа, только F(x)=f(x)+Ag(x)

Вопрос №16

Правило Лопиталя.

Теорема: Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки а. Пусть далее limf(x)=limg(x)=0(x→a), и g(x)≠0 в указанной окрестности точки а. Тогда, если существует предел отношения производных (x→a) (конечный иди бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула: .

Доказательство: Пусть {Xn} – произвольная последовательность, сходящаяся к точке а, причем Xn≠a. Доопределим функции f(x) и g(x) в точке а, положив их равными нулю, т. е. f(a)=g(a)=0. Тогда, очевидно, f(x) и g(x) непрерывны на [a,Xn], дифференцируемы на

(a, Xn) и, по условию g(x)≠0. Таким образом, для f(x) и g(x) выполняются все условия теоремы Коши на [a,Xn], т. е. внутри [a,Xn] существует такая точка , что

По доопределению f(a)=g(a)=0, следовательно,

Пусть теперь n→∞, следовательно, →a при n→∞. Так как существует, то правая часть формулы имеет при n→∞ предел, равный , следовательно, при n→∞ существует предел и левой части формулы, причем . Так как {Xn} – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к а, то отсюда следует, что существует и .

Замечание: Правило можно применять повторно.

Используется для неопределенностей вида: остальных, сводящихся к первым двум!

Вопрос №17.

Теорема о возрастании (убывании) функции.

Если задана и непрерывна на [a:b] и конечна на (a,b) то

1) если >0 на (a,b) возрастает на (a,b)

2) если <0 на (a,b) убывает на (a,b)

Доказательство.

Определение возрастания функции: (a,b), .

Само доказательство:

Для верна т.Лагранжа

Вопрос №18.

Достаточные условия для экстремума по первой производной.

Необходимые условия Экстр.

(Теорема) Пусть задана и непрерывна на [a:b] и в точке С, лежащей внутри интервала имеет экстремум, тогда или 1. = 0

или 2.

или 3. не сущ.

Достаточные условия экстр. – точка в которой производная или равна 0, или производная обращается в бесконечность, или не существует называется точкой, подозрительной на экстремум.

Теорема(д.у.экстр.) пусть т.С – критическая точка для , в (С-v,С+v) задана и непрерывна и конечна

1) если при переходе через критическую точку С производная меняет знак с + на -, то в этой точке МАКСИМУМ.

2) Если с – на +, то МИН

3) Если не меняет знак, то экстр. НЕТ!

Доказательство.

т.С-точка МАКС по определению(наиб. знач.на промежутке)

ЧТД

Вопрос №19.

Достаточные условия для экстремума по второй производной.

Теорема(д.у.экстр. - частный случай – для гладк.экстр.)

Пусть зад. и непрер. на [a:b], конечна на (a,b) и , где с

1. < 0 в точке С – МАКС

2. > 0 в точке С – МИН

Замечание если -функция по теореме о Монотонности: > 0

Определение =

Пусть > 0

а) > 0 >

б) < 0, но > 0 - < 0

Вопрос №20.

Выпуклость(вогнутость) функции, точки перегиба.(определение, теорема).

Функция наз-ся выпуклой на данном промежутке, если ее график лежит ниже любой касательной, проведенной к нему(графику) на данном промежутке.

Функция наз-ся вогнутой на данном промежутке, если ее график лежит выше любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке.

Точка, в которой выпуклость меняется на вогнутость (или наоборот) называется точкой перегиба.