![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Производная в точке (x0) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.
Вопрос №4
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
Если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Из существования производной функции одной переменной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке.
Теорема. если функция z=f(M) дифференцируема в точке М, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Если функция z=f(M) дифференцируема в точке М, то, как следует из соотношения ,(где А и В- некоторые независящие от
x и
у числа, а
и
- бесконечно малые при
X => 0,
y=>0 функции.),
,а это и означает, что функция непрерывна в точке М.
Вопрос №5
Правила дифференцирования(производная константы, суммы, произведения, частного)
Вопрос №6
Производные основных элементарных функций.
Вопрос №7
Производная сложной функции.
Пусть - функция, дифференцируемая в точке
,
- функция, дифференцируемая в точке
, причем
. Тогда
- сложная функция независимого переменного
, дифференцируема в точке
и ее производная в этой точке вычисляется по формуле
.
Обычно называют внешней функцией, а
- внутренней. При вычислении производной сложной функции, сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.
Теорема: Пусть функция непрерывна в точке
,а функция
непрерывна в точке
. Тогда сложная функция
непрерывна в точке
.
Доказательство:
Возьмём из X любую последовательность точек сходящуюся в точке
. Тогда в силу непрерывности функции
в точке
имеем
, т.е. соответствующая последовательность точек
сводится к точке
. В силу же непрерывности функции
в точке
получаем
. Следовательно предел функции
в точке
равен ей значению в этой точке, что и доказывает непрерывность сложной функции
в точке
.
Вопрос №8
Обратная функция её производная.
Пусть X и Y – некоторые множества и путь задана функция f, т.е. множество пар чисел , в котором каждое число x входит в одну и только одну пару, а каждое число y,- по крайней мере, в одну пару. Если в каждой паре этого множества числа x и y поменять местами, то получим множество пар чисел (у;x), которое называется обратной функцией
к функции f. Обратную функцию будем обозначать символом
. Отметим, что обратная функция, вообще говоря, не является функцией так как каждое число y может входить не только в одну, но и в несколько пар. Так, например, для функции y=x обратная функция x=y – однозначна (каждое число y входит только в одну пару), для функции y=x^2 обратная функция
двузначна.
Из определения следует, что если обратная функция однозначна, т.е. является функцией в обычном смысле, то множество значений Y функции f является областью определения обратной функции . Пусть, например, функция
определена на отрезке
, отрезок
является множеством её значений и каждое
соответствует ровно одному x из
. Тогда, по определению, на отрезке
определена однозначная обратная функция
, множеством значений которой служит отрезок
.
Производная обратной функции.
Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на
. Пусть также в точке
производная
. Тогда в точке
определена дифференцируемая функция
, которую называют обратной к
, а ее производная вычисляется по формуле
.
Вопрос №9
Обратные тригонометрические функции и их производные.
Получение функции arccos
Дана функция y = cosx. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arccosx функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения — [0;π]. На этом отрезке y = cosx строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0;π] существует обратная функция y = arccosx, график которой симметричен графику y = cosx на отрезке [0;π] относительно прямой y = x.
Получение функции arcsin
Дана функция y = sinx. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arcsinx функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений . Так как для функции y = sinx на интервале
каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция y = arcsinx, график которой симметричен графику функции y = sinx на отрезке
относительно прямой y = x.
Вычисление производных обратных тригонометрических функций.
Функция является обратной для функции x=sin(y). Так как x’(y)=cos(y), по теореме о производной обратной функции получаем:
. Корень взять со знаком плюс, так как cos(y) положителен на интервале
. Учитывая, что sin(y)=x окончательно имеем
Функция является обратной для
. Так как
Вопрос №10
Логарифмическое дифференцирование.
Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.
Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей: Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.
. Отсюда видно, что искомая производная равна
.
Вопрос №11
Производная параметрически заданной функции.
Пусть функции и
имеют производные, причем
на некотором промежутке, следовательно
строго монотонна и обратная функция
однозначна и имеет производную, по теореме о производной обратной функции:
Вопрос №12
Производные высших порядков
Назовем f’(x) производной первого порядка функции f(x). Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка(второй производной) этой функции. Производная от второй производной называется производной третьего порядка и так далее. Производные, начиная со второй называются производными высших порядков.
n-ые производные некоторых функций:
Вопрос №13
Касательная и нормаль к плоской кривой.
Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1; y1) на ней.
Угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при x = x1, Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде y - y1 = f '(x1)(x - x1).
Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение
записывается в виде
Вопрос №14
Дифференциал, его свойства, приложение к приближенным вычислениям.
По определению: , тогда
бесконечно малая величина.
- формула полного приращения функции, где
главная или линейная часть приращения функции или дифференциал.
Свойства дифференциала:
Приближенные вычисления с помощью дифференциалов:
Вопрос №15
Определение экстремума. Теоремы Ролля, Ферма, Лагранжа, Коши.
Точки экстремума – точки функции, значение производных в которых равно 0. Точки минимума и максимума функции.
Точка максимума – точка, в которой достигается наибольшее значение функции в локальной окрестности.Точка минимума – точка, в которой достигается наименьшее значение функции в локально окрестности.Экстремум – наибольшее, наименьшее значение функции в данной локально окрестности.
Теорема Ферма: Пусть f(x) задана и непрерывна на [a,b], f(c)=extr и f(c)- существует, то f’(c)=0. Теорема Ферма – это необходимое условие экстремума, обратное не верно!
Теорема Роля: Пусть f(x) задана и непрерывна на [a,b], f’(x) конечна на (a,b); f(a)=f(b), следовательно, существует хотя бы одна точка c (a,b), что f’(c)=0.
Доказательство: Функция внутри интервала принимает либо наибольшее, либо наименьшее значение внутри интервала и так как f’(x) конечна, то по теореме Ферма f’(x)=0.
Теорема Лагранжа: Путь f(x) задана и непрерывна на [a,b], f’(x) конечна на (a,b), следовательно, существует хотя бы одна точка c (a,b), что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
Доказательство: вспомогательная функция F(x):
Теорема Коши: Пусть f(x) и g(x) заданы и непрерывны на [a,b], f’(x) и g’(x) конечны на (a,b) g(x) 0, следовательно, существует хотя бы одна точка с
(a,b), такая что:
.
Доказательство аналогично т. Лагранжа, только F(x)=f(x)+Ag(x)
Вопрос №16
Правило Лопиталя.
Теорема: Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки а. Пусть далее limf(x)=limg(x)=0(x→a), и g(x)≠0 в указанной окрестности точки а. Тогда, если существует предел отношения производных (x→a) (конечный иди бесконечный), то существует и предел
, причем справедлива формула:
.
Доказательство: Пусть {Xn} – произвольная последовательность, сходящаяся к точке а, причем Xn≠a. Доопределим функции f(x) и g(x) в точке а, положив их равными нулю, т. е. f(a)=g(a)=0. Тогда, очевидно, f(x) и g(x) непрерывны на [a,Xn], дифференцируемы на
(a, Xn) и, по условию g(x)≠0. Таким образом, для f(x) и g(x) выполняются все условия теоремы Коши на [a,Xn], т. е. внутри [a,Xn] существует такая точка , что
По доопределению f(a)=g(a)=0, следовательно,
Пусть теперь n→∞, следовательно, →a при n→∞. Так как
существует, то правая часть формулы имеет при n→∞ предел, равный
, следовательно, при n→∞ существует предел и левой части формулы, причем
. Так как {Xn} – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к а, то отсюда следует, что
существует и
.
Замечание: Правило можно применять повторно.
Используется для неопределенностей вида: остальных, сводящихся к первым двум!
Вопрос №17.
Теорема о возрастании (убывании) функции.
Если задана и непрерывна на [a:b] и
конечна на (a,b) то
1) если >0 на (a,b)
возрастает на (a,b)
2) если <0 на (a,b)
убывает на (a,b)
Доказательство.
Определение возрастания функции:
(a,b),
.
Само доказательство:
Для верна т.Лагранжа
Вопрос №18.
Достаточные условия для экстремума по первой производной.
Необходимые условия Экстр.
(Теорема) Пусть задана и непрерывна на [a:b] и в точке С, лежащей внутри интервала имеет экстремум, тогда
или 1.
= 0
или 2.
или 3. не сущ.
Достаточные условия экстр. – точка в которой производная или равна 0, или производная обращается в бесконечность, или не существует называется точкой, подозрительной на экстремум.
Теорема(д.у.экстр.) пусть т.С – критическая точка для , в (С-v,С+v)
задана и непрерывна и
конечна
1) если при переходе через критическую точку С производная меняет знак с + на -, то в этой точке МАКСИМУМ.
2) Если с – на +, то МИН
3) Если не меняет знак, то экстр. НЕТ!
Доказательство.
т.С-точка МАКС по определению(наиб. знач.на промежутке)
ЧТД
Вопрос №19.
Достаточные условия для экстремума по второй производной.
Теорема(д.у.экстр. - частный случай – для гладк.экстр.)
Пусть зад. и непрер. на [a:b],
конечна на (a,b) и
, где с
1. < 0
в точке С – МАКС
2. > 0
в точке С – МИН
Замечание если -функция
по теореме о Монотонности:
> 0
Определение =
Пусть > 0
а) > 0
>
б) < 0, но
> 0
-
< 0
Вопрос №20.
Выпуклость(вогнутость) функции, точки перегиба.(определение, теорема).
Функция наз-ся выпуклой на данном промежутке, если ее график лежит ниже любой касательной, проведенной к нему(графику) на данном промежутке.
Функция наз-ся вогнутой на данном промежутке, если ее график лежит выше любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке.
Точка, в которой выпуклость меняется на вогнутость (или наоборот) называется точкой перегиба.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 403 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!