Контрольной работе

При решении задач № 1-30 следует познакомиться с методами нахождения пределов функций [1, 5, 6, 8].

Рассмотрим некоторые из них.

Пример. Найти .

Решение. Для нахождения предела отношения двух многочленов относительно при каждый многочлен делят на , где n – наивысшая степень этих многочленов.

,

так как , где

Пример. Найти .

Решение. Предельный переход даёт нам неопределённость , от которой избавляемся переводом иррациональности из числителя в знаменатель. Используем формулу . Получим

При вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, для раскрытия неопределённости используют первый замечательный предел .

Пример. Найти .

Решение.

.

Второй замечательный предел вида или используют при раскрытии неопределённости вида .

Пример. Вычислить .

Решение. .

Введём новую переменную , тогда при , получим

.

Для решения задач № 31-60 следует использовать литературу [1, 5, 6, 8].

Пример. Для функции найти значения производных и при .

Решение. .

.

.

.

В задачах № 61-90 требуется провести полное исследование указанных функций и построить их графики. Эти вопросы освещены в следующей литературе [1, 5, 6, 8].

При исследовании целесообразно придерживаться следующей схемы:

1) найти область определения функции, вычислить предельные значения на её границе, найти уравнения вертикальных и наклонных асимптот, если они существуют. Найти точки пересечения графика с осями координат;

2) с помощью первой производной найти интервалы возрастания и убывания функции, её экстремумы;

3) с помощью второй производной определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.