Примеры решения типовых заданий

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) Если при вычислении предела получена неопределенность вида , то для ее раскрытия нужно и числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую, входящую в них степень аргумента:

так как

Б)

В данном случае при и числитель, и знаменатель дроби обращаются в 0, то есть получается неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности избавимся от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, а также воспользуемся первым замечательным пределом:

Получим:

так как

и

В)

При получаем неопределенность вида , раскрыть которую можно воспользовавшись вторым замечательным пределом:

Выделяя структуру второго замечательного предела, получим:

2. Найти точки разрыва функции и указать их характер.

Функция определена на всей числовой оси, т.е. ,

поэтому разрыв возможен только в точках и .

1) Пусть . Тогда:

Предел функции в точке слева равен бесконечности и, следовательно, точка является точкой разрыва второго рода.

2) Пусть . Тогда:

Односторонние пределы функции в точке конечны, но не равны. Следовательно, точка является точкой разрыва первого рода, а именно точкой скачка функции.

3. Полное исследование функции проводится по следующей схеме:

1) область определения, область значений функции;

2) четность, нечетность функции, периодичность;

3) асимптоты;

4) промежутки монотонности и точки экстремума;

5) промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

6) точки пересечения графика функции с осями координат;

7) построение графика.

Например:

а) найти асимптоты графика функции .

Решение.

1) Функция не определена в точке . Найдем односторонние пределы функции в этой точке:

значит, прямая является вертикальной асимптотой.

2) Найдем

значит, функция имеет наклонную асимптоту , где

Таким образом, наклонной асимптотой графика функции является прямая .

б) Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

Решение.

1) Найдем производную:

2) определим точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, решив уравнение :

При производная не существует.

Точки и разбивают числовую ось на интервалы , и .

3) Определим знак производной на полученных промежутках:

Промежуток
Производная

Таким образом, при функция убывает, а при − возрастает. Точка является точкой минимума функции. При этом минимальное значение функции равно

в) Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции

Решение.

1) Найдем производную второго порядка:

2) Найдем точки, в которых выполняется необходимое условие перегиба, решив уравнение

Точка разбивает числовую ось на два интервала: и .

3) Определим знак второй производной на полученных промежутках:

Промежуток		.
Производная второго порядка

Таким образом, при график функции выпуклый вверх, а при − выпуклый вниз (вогнутый).

− точка перегиба, в которой значение функции равно