Пояснительная записка. Методические указания содержат основные вопросы программы курса математического анализа, правила выполнения и оформления контрольной работы

Методические указания содержат основные вопросы программы курса математического анализа, правила выполнения и оформления контрольной работы, таблицу выбора варианта и контрольные задания. Также приведены примеры решения основных типовых задач. Указан список литературы, которую можно использовать при выполнении контрольной работы.

ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ КУРСА

1. Предмет математического анализа. Числовые множества. Модуль. Свойства модуля.

2. Функция, способы задания, область определения и область значений функции. Свойства функций, классы функций. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

3. Числовая последовательность. Предел последовательности, предел функции. Односторонние пределы функции в точке. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Неопределенности.

4. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Классификация точек разрыва.

5. Производная функции, её геометрический и экономический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости функции. Производные основных элементарных функций. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производная сложной функции.

6. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.

7. Теоремы о дифференцируемых функциях: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа.

8. Применение производной к вычислению пределов. Правило Лопиталя.

9. Применение производной к исследованию функций. Теоремы о монотонных функциях. Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия перегиба. Асимптоты. Полное исследование функции и построение графика.

10.Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям, интегрирование дробно-рациональных функций, интегрирование некоторых классов тригонометрических и иррациональных функций.

11. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

12. Геометрические приложения определенного интеграла.

13. Несобственные интегралы.

14. Понятие функции нескольких переменных. Область определения, график, линии уровня. Предел функции в точке.

15. Частные производные. Полный дифференциал. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

16. Производная по направлению. Градиент. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

17. Экстремум функции двух переменных.

18. Ряды. Свойства рядов. Сумма ряда. Знакоположительные и знакопеременные числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов.

19. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Разложение функции в ряд. Применение рядов в приближенных вычислениях.

20. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решения. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений.