Формула полной вероятности

Если исходы опыта (гипотезы): Г ₁, Г ₂,…, Г_n образуют полную группу попарно независимых событий, то вероятность появления события А находится по формуле полной вероятности .

Пример 5.1. В тире имеется пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.

Решение. Событие А — попадание при одном выстреле. Гипотезы — стреляющий выбрал первое ружье(Г ₁), второе — (Г ₂) и т.д. Так как ружье выбирается на удачу, их пять штук, Р (Г_i) = (i = 1, 2, …5). Р (A/Г₁) = 0,5 (вероятность попадания, если выбрано первое ружье); Р (A/Г₂) = 0,6 и т. д.

Р (А) = .

Пример 5.2. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает 25%, второй — 30% и третий — 45% деталей, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 1% нестандартных деталей, второй — 2%; третий — 3%. Найти вероятность поступления на сборку нестандартной детали.

Решение. Событие А — деталь, поступившая на сборку, нестандартная. Пусть Г ₁ – деталь с первого автомата, Р (Г₁) = 0,25 (т.к. их 25%), аналогично, Р (Г₂) = 0,30; Р (Г₃) = 0,45.

Р (A/Г₁) = 0,01 (вероятность быть детали нестандартной, если она изготовлена на первом автомате). Р (A/Г₂) = 0,02; Р (A/Г₃) = 0,03;

Р (А) = .

Задачи №8 в индивидуальных заданиях могут быть решены по формуле полной вероятности.

§ 6. Формула Бейеса (теорема гипотез)

Вероятность Р (Г_k /A) гипотезы Г_k после того, как имело место событие А, определяется формулой ,

где Р (А) = .

Пример 6.1. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной хорошую продукцию с вероятностью 0,98, а бракованную — с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

Решение. Событие А — изделие прошло упрощенный контроль, Г ₁ – изделие удовлетворяет стандарту, Г ₂ – изделие бракованное.

Р (Г₁) = 0,96; Р (Г₂) = 0,04; Р (A/Г₁) = 0,98; Р (A/Г₂) = 0,05.

Р (A) = Р (Г₁) Р (A/Г₁) + Р (Г₂) Р (A/Г₂) = 0,96 × 0,98 + 0,04 × 0,05 = 0,9428.

Р (Г₁/A) – изделие удовлетворяет стандарту, если оно прошло упрощенный контроль. По формуле Бейеса

= 0,9979.