теоремы сложения вероятностей. Вероятность появления хотябы одного события

1.Теоремы сложения вероятностей Пусть даны два события и требуется определить вероятность появления хотя бы одного из этих событий. Теорема 4. Если события и несовместные, то вероятность появления одного из этих событий (сумма) равна сумме вероятностей данных событий, т.е. . Следствия: Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, Если события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице. Пример 4. В урне 10 красных, 5 синих и 3 зеленых шара. Наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что он окажется или красным или синим. Решение: События и несовместные Событие - ; Событие - ; . Теорема 5. Если события и совместные, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий (сумма) равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т. е. . Пример 6. Вероятность попадания в цель первого и второго стрелка соответственно равны 0,4 и 0,5. Найти вероятность попадания при одном выстреле хотя бы одного из стрелков (стрелки делают выстрел одновременно). Решение:Событие - ;Событие - ; Замечание1: При использовании этой формулы следует иметь в виду, что А и В могут быть зависимыми, так и независимыми.Для независимых событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(В). Для зависимых :Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)Р_А(В). Замечание 2: Если А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и следовательно Р(АВ)=0 и Р(А+В)=Р(А)+Р(В) и следовательно вновь получили теорему о несовместных событиях. 2. Вероятность появления хотя бы одного события В некоторых случаях вероятность события удобнее подсчитывать как вероятность противоположного другому событию. О.1 Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Пусть события попарно независимы и их вероятности известны и равны соответственно , тогда вероятности противоположных им событий будут равны .

О.2 Несколько событий называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые 2 из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Пусть в результате испытания могут появиться n событий независимых в совокупности, причем вероятность каждого известна. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий. Теорема 6. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , т.е . Доказательство: Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий .

События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно сумма их вероятностей равна 1. Частный случай: Если события имеют одинаковую вероятность р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий Пример 7. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий 0,8; 0,7; 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий. Решение: Вероятность попадания в цель каждого из орудий не зависит от результата стрельбы из других орудий, поэтому рассмотрим событие А₁ (попадание первого орудия), А₂ (попадание второго орудия) и А₃ (попадание третьего орудия) независимы в совокупности. Если , тогда - вероятности событий противоположным событиям А₁, А₂, А₃ (т.е. вероятности промахов). q₁ = 1- 0,8 = 0,2 q₂= 1- 0,7 = 0,3 q₃ = 1- 0,9 = 0,1

Искомая вероятность Р(А) = 1 - q₁q₂q₃ Р(А) = 1 – 0,2*0,3*0,1 = 0,994

10.Формула полной вероятности Теорема. Если событие может наступить только при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу, то вероятность события равна сумме произведений каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события , т. е. .Док-во: по условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий . Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В₁А, В₂А, …, В_nА. Пользуясь теоремой сложения, получаем: , (*) по теореме умножения зависимых событий имеем: Подставив эти формулы в (*), получим: Поскольку заранее не известно, какие з событий наступят, то их называют гипотезами. Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора)- стандартная. Решение. Событие А- извлеченная деталь стандартная. Деталь может быть извлечена из первого набора (событие В₁), либо из второго (событие В₂). Условная вероятность того, что из первого набора деталь стандартная , Что из второго набора стандартная Р(А)=0,5*0,8+0,5*0,9=)=0,85

11.Вероятность гипотез. Формула Байеса Часто, приступая к анализу вероятностей, мы имеем предварительные значения вероятностей, интересующих нас событий. После проведения испытания эти вероятности могут несколько уточняться.Пусть произведено испытание, в результате которого появилось событие . Необходимо найти вероятности гипотез , после того как испытание произведено, т. е. условные вероятности гипотез . Найдем сначала условную вероятность . По теореме умножения .Отсюда .Аналогично выводятся формулы остальных гипотез. Вобщем случае условная вероятность любой гипотезы , где , определяется как . Последняя формула называется формулой Байеса. Она позволяет переоценивать вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие . Пример 1. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна , а ко второму - Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером, равна , а вторым - .

Найти вероятность того, что деталь будет признана стандартной; Проверенная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что она проверена первым контролером.

Решение: Событие , Гипотеза , Гипотеза . 1) ; 2) Т.о. до испытания значение вероятности гипотезы равнялось , а после проведения испытания изменилось и стало равняться .

12. Формула Бернулли О. 1. Если проводится несколько испытаний, причем вероятность появления события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события .Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых возможно только два исхода: либо событие появится, либо нет.

Условимся считать, что вероятность события в каждом испытании одна и та же и равна . Тогда вероятность ненаступления события в каждом испытании так же постоянна и равна . Выше описанная совокупность условий называется схемой независимых испытаний Бернулли. Теорема 1. Если вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний постоянна, то вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится ровно раз, вычисляется по формуле .

Пример 1. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятность появления мальчика в семье равной 0.515, определить вероятность появления в ней двух мальчиков.тРешение: .

13. Формула Пуассона Если число испытаний достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна , причем , то применение формулы Муавра-Лапласа становится невозможным. Теорема 1. Если вероятность появления события в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний, причем произведение сохраняет постоянное значение, т. е. , то вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится раз удовлетворяет предельному равенству (2).Строго говоря, условие теоремы 2: при , нарушает исходные предпосылки в схеме независимых испытаний Бернулли, в которой . Однако, если вероятность постоянна и достаточно мала, а число испытаний велико, причем произведение незначительно, то из предельного равенства (2) можно записать приближенную формулу Пуассона: . Пример 3. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено три изделия.Решение: В данном случае формула Бернулли не применима, т. к. придется возводить 0. 002 в 500-ю степень. ; .

14. Наивероятнейшее число появления события О. 1. Наивероятнейшим числом наступления события в независимых испытаниях называется число, вероятность которого, по крайней мере не меньше вероятностей вычисленных для всех остальных .Наивероятнейшее число - наступления события в независимых испытаниях находится из неравенства (1)Т. к. , то обязательно найдется хотя бы одно целое число , удовлетворяющее неравенству (1).Если обе части неравенства (1) – дробные числа, то - единственное целое число, расположенное между данными дробями.Если число - целое, то наивероятнейших чисел будет два: и . Если число - целое, то наивероятнейшее число . Пример 1. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятность появления мальчика в семье равной 0.515 найти наивероятнейшее число появления мальчиков в семье c четырьмя детьми.Решение: Т. к. , , , то . Т. е. вероятнее всего, что мальчиков будет два. Проверим это. Найдем вероятности того, что мальчиков будет 0,1,3,4.

Следовательно, вероятнее всего появление двух мальчиков.

15. Понятие и виды случайной величины О. 1. Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять любое заранее не известное значение из множества всевозможных значений. Пример 1. 1)Число мальчиков среди ста новорожденных детей есть случайная величина, которая может принимать значения от 0 до 100.2) Расстояние, которое пролетит снаряд после выстрела, есть случайная величина значения, которой могут быть указаны интервалом .Обозначаются случайные величины прописными буквами , а их возможные значения строчными .Различают случайные величины двух видов: дискретные и непрерывные. О. 2. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, возможные значения которой представляют собой множество изолированных фиксированных величин (ДСВ). Число возможных значений дискретной случайной величины может быть как конечным, так и бесконечным.

О. 3. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины является бесконечным. Пример 2. В примере 1: 1) дискретная величина; 2) непрерывная величина

16. закон распределения вероятностей ДСВ. Способы задания. 1.Закон распределения вероятностей ДСВ Для того чтобы ДСВ была задана, не достаточно перечислить множество ее всевозможных значений, потому что две ДСВ могут иметь одинаковый перечень возможных значений, а вероятности принятия этих значений будут различными. О. 1. Законом распределения вероятностей (рядом распределения)ДСВназывается последовательность возможных значений дискретной случайной величины и соответствующих им вероятностей. Закон распределения вероятностей может быть задан: 1) Таблично, при этом первая строка в таблице содержит возможные значения ДСВ, а вторая – их вероятности:

X			…….
P			……

2) Графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

3) Аналитически, т.е. в виде формулы. Наиболее распространенными аналитическими выражениями являются биномиальное, пуассоновское, геометрическое и гипергеометрическое распределения вероятностей. Т. к. в одном испытании ДСВ может принять только одно значение, то множество ее всевозможных значений образует полную группу событий и сумма их вероятностей равна единице: . 2. Способы задания. 1. Биномиальное распределение 2. Пуассоновское распределение 3. Геометрическое распределение 4. Гипергеометрическое распределение

17. Биномиальное распределение Пусть выполнены все условия схемы независимых испытаний Бернулли. Рассмотрим в качестве ДСВ число появлений события в этих испытаниях. Т. е. величина может принимать значения: . Вероятности этих значений определяются по формуле Бернулли: , . О. 1. Закон распределения вероятностей ДСВ называется биномиальным, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле Бернулли. Пример 1. Баскетболист делает три штрафных броска. Вероятность попадания при каждом броске равна . Составить закон распределения числа попаданий мяча в корзину. Решение:

X
P	0.189	0.441	0.343	0.027

Контроль:

18. Пуассоновское распределение Пусть в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний достаточно велико (, а вероятность появления события очень мала

. Рассмотрим в качестве ДСВ число появлений события в этих испытаниях. Т. е. величина может принимать значения: . Вероятности этих значений определяются по формуле Пуассона: , . О. 1. Закон распределения вероятностей ДСВ называется пуассоновским, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле Пуассона.

19. Геометрическое распределение Пусть выполнены все условия схемы независимых испытаний. Испытания проводятся до 1-го появления события . Т. е. если событие появилось в -м (катом) испытании, то в предыдущих испытаниях оно не появлялось. Рассмотрим в качестве ДСВ число испытаний, которые необходимо провести до 1-го появления события . Т. о. возможные значения величины : . Вероятности этих значений определяются по формуле: , где . (1)Если в эту формулу подставить последовательно вместо : , то получим геометрическую прогрессию с 1-м членом и знаменателем (): . O. 4. Закон распределения вероятностей ДСВ называется геометрическим, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле (1) и образуют геометрическую прогрессию. Пример 2. Игральная кость подбрасывается до первого выпадения цифры шесть. Составить закон распределения числа подбрасываний игральной кости до первого выпадения цифры шесть.Решение: . .

				.........
				.........

20. Гипергеометрическое распределение Пусть имеется элементов, среди которых обладают свойством . Случайным образом выбирается элементов (выбор каждого элемента равновозможен), причем выборка осуществляется без возвращения.Рассмотрим в качестве ДСВ количество элементов , обладающих свойством среди отобранных элементов. Т. е. величина может принимать значения: . Вероятности этих значений определяются по формуле: , где . (2) O. 5. Закон распределения вероятностей ДСВ называется гипергеометрическим, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле (2). Пример 1. Гражданин приобрел случайным образом 5акций двадцати АО. Через год 6 из 20-ти АО разорились. Составить закон распределения и построить многоугольник распределения возможного числа акций банкротов среди купленных гражданином акций.Решение:

X
P

Контроль: 1

21. Математическое ожидание ДСВ и его свойства. 1. Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений возможных значений величины на соответствующие вероятности, т. е. . Вероятностный смысл : математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. 2.Свойства : Математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений; Если , то . Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: ; Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: ; Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания.

22. дисперсия ДСВ и ее свойства. Формула для вычисления дисперсии. Среднее квадратическое отклонение. О. 1. Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины , т. е . Вероятностный смысл : дисперсия ДСВ характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания (в квадратных единицах). Свойства : Всегда ; Если , то ; ,где ; Дисперсия суммы и разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: . Формула для вычисления дисперсии: Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания: . О.2. Средним квадратическим отклонением (сигма) ДСВ называют квадратный корень из дисперсии: . Вероятностный смысл : среднее квадратическое отклонение ДСВ имеет тот же вероятностный смысл, что и дисперсия, с той лишь разницей, что измеряется в тех же единицах, что и сама величина . Частные случаи: 1. Если ДСВ имеет биномиальное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам: . 2. Если ДСВ имеет геометрическое распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам: . 3. Если ДСВ имеет гипергеометрическое распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

	0,1	0,4	0,2	0,3

. Пример 1. Пусть заданы два ряда распределения ДСВ и :

	0,2	0,6	0,2

Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины . Решение: ; ; ;

; ; ; .

23. Функция распределения вероятностей и ее свойства. Т. к. способ задания случайных величин с помощью ряда распределения имеет место только для ДСВ, то естественно возникает вопрос: можно ли ввести общий способ задания для всех типов случайных величин?Пусть - случайная величина, а - некоторое действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что примет значение, меньшее обозначается . Если изменяется, то изменяется и , т.е. есть функция зависящая от . О. 1. Функцией распределения вероятностей (интегральной функцией) называется функция, определяющая вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , т.е.

. Геометрически это означает, что есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, расположенной слева от точки . Свойства функции : 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е . 2. Функция неубывающая, т.е. , если . 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то: 1) при ; 2) при . 4. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале: . 5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение , равна нулю, т.е. .График функции распределения вероятностей ДСВ представляет собой ступенчатую фигуру, а НСВ – непрерывную линию. Причем, если речь идет о ДСВ и ее возможные значения расположить в порядке возрастания , то может быть представлена в виде:

	0,3	0,1	0,6

Пример 1. ДСВ задана таблицей распределения: Найти функцию распределения и изобразить ее на графике. Решение: Пример 2. НСВ задана своей функцией распределения:

Построить график функции и найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале .

Решение: .

24. Плотность распределения вероятностей и ее свойства. О.1. Плотностью распределения вероятностей (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины называется функция , равная первой производной от функции распределения , т.е. . Свойства функции : 1. Плотность распределения неотрицательная функция, т.е. .

2.Несобственный интеграл от плотности распределения на интервале равен единице, т.е.

. 3.Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

. 4. Вероятность попадания случайной величины в интервал может быть вычислен по формуле (Ньютона-Лейбница):

. 5. Если известна плотность распределения , то функция распределения может быть найдена по формуле:

Пример 1. НСВ задана плотностью распределения . Найти функцию распределения вероятностей и построить график и

. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение из интервала . Решение: при : ; при : ; при : ; . .

25. Числовые характеристики НСВ Пусть непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Тогда аналогично ДСВ для НСВ могут быть определены числовые характеристики. О.1. Математическим ожиданием НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называют определенный интеграл: . O.2. Дисперсией НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называется значение интеграла Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ. Замечание 2. На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой: . O.3. Средним квадратическим отклонением НСВ называется корень квадратный из дисперсии, т.е. . О.4. Модой НСВ называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна. O.5. Медианой НСВ называется такое значение этой величины, что выполняется равенство: .

Пример 1. НСВ задана плотностью распределения вероятностей в интервале . Вне этого интервала . Найти все числовые характеристики

НСВ . Решение: ; ;

; ; Т. к. кривая распределения – парабола симметричная относительно прямой , то .

26. Равномерное распределение и его свойства. О.1. Закон распределения НСВ называется равномерным, если ее плотность распределения задается в виде:

Свойства равномерного распределения 1. Зная плотность распределения, и используя формулу , можно найти функцию распределения: 2. Если НСВ имеет равномерное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

. 3. Вероятность попадания равномерно-распределенной НСВ в интервал можно определить по формуле:

. Пример 1. Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 минут. Считая, что НСВ - время ожидания автобуса - распределена равномерно, найти среднее время ожидания (математическое ожидание), среднее квадратическое отклонение. Какова вероятность того, случайно подошедший на остановку пассажир будет ожидать автобус не более 4 минут, но и не менее 2 минут.

Решение: ;

.

27. Показательное распределение и его свойства. О.1. Закон распределения НСВ называется показательным, если ее плотность распределения задается в виде , где - параметр показательного распределения. Свойства показательного распределения: 1.Зная плотность распределения и используя формулу ,можно найти функцию распределения: 2. Если НСВ имеет показательное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам: . 3. Вероятность попадания показательно-распределенной НСВ в интервал определяется по формуле:

, где значения определяются по таблице. Пример 2. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с параметром (интенсивность отказов). Найти среднее время безотказной работы элемента, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно не менее 4 лет, но не более 10. Решение: ;

.

30. Закон больших чисел Поскольку на практике сведения о каждой случайной величине, чаще всего, являются очень скромными и уверенно предсказать какое возможное значение она примет затруднительно, то может показаться, что нельзя установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. Оказывается, что это не так.Закон больших чисел в широком смысле – это общий принцип, согласно которому совокупное действие большого числа случайных величин приводит, при некоторых сравнительно широких условиях, к результату, почти независящему от случая, т.е. при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью точности. Терема 1. (неравенство Маркова) Если случайная величина принимает только неотрицательные значения, то для любого числа выполняется неравенство: Для события , противоположного событию , неравенство Маркова может быть записано в виде: Теорема 2. (неравенство Чебышева) Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине