Понятие комбинаторики. Основные правила комбинаторики

1. Понятие комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов заданного конечного множества.

Использование формул комбинаторики значительно облегчает проведение расчетов в теории вероятностей. 2. Основные правила комбинаторики Пусть - это элементы заданного конечного множества. Правило суммы: Если элемент можно выбрать способами, можно выбрать способами,….., можно выбрать способами отличными от всех предыдущих, то выбор 1 – го из элементов может быть осуществлен способами. Пример 1. В коробке 20 шаров, причем 5 из них красные, 6 синие, а остальные зеленые. Сколько существует способов извлечь из ящика 1 шар или красного или синего цвета. Решение: Правило произведения: Пусть элемент можно выбрать способами, после каждого такого выбора элемент можно выбрать способами, после - го выбора элемент можно выбрать способами, тогда выбор всех элементов в указанном порядке может быть осуществлен способами. Пример 2. В конкурсе участвуют 10 человек. Для определения порядка выступления конкурсантов проводят жеребьевку. Сколькими способами можно выбрать трех человек для выступления под номерами 1,2,3.

Решение: .

6.Основные комбинаторные соединения Пусть дано множество из элементов. Из этого множества могут быть составлены подмножества (комбинации) по элементов трех основных видов:1. перестановки;2. размещения;3. сочетания. Перестановки О. 1. Перестановками без повторений называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их следования.Число всевозможных перестановок без повторений Пример 3. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр: числа 12345.Решение: О. 2. Перестановками с повторениями называются перестановки, в которых из общего числа элементов имеется только различных элементов, причем 1-й элемент повторяется раз, 2-й элемент повторяется раз, …., -й элемент повторяется раз ().

Число всевозможных перестановок с повторениями Пример 4. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр числа 12213. Решение: . Размещения и сочетания О. 3. Размещениями без повторений называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо порядком следования. Число всевозможных размещений без повторений Пример 5. Десять студентов участвуют в конкурсе на назначение трех стипендий: президентской, губернаторской и потанинской. Причем, один человек может получить только одну стипендию. Сколько существует вариантов распределения стипендий. Решение: .

О. 4. Размещениями с повторениями называются размещения, некоторые элементы (или все) которых могут оказаться одинаковыми. Число всевозможных размещений с повторениями Пример 6. Десять студентов участвуют в конкурсе на назначение трех стипендий: президентской, губернаторской и потанинской. Причем, так как конкурс серьезный и победить в нем могут только настоящие вундеркинды, то для большего поощрения решено, что один человек может получить несколько стипендий одновременно. Сколько существует вариантов распределения стипендий. Решение: . O. 5. Сочетаниями без повторений называются комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются только составом. Число сочетаний без повторении Пример 7. Десять студентов участвуют в конкурсе на назначение трех губернаторских стипендий. Причем один человек может получить только одну стипендию. Сколько существует вариантов распределения стипендий. Решение: . О. 6. Сочетаниями с повторениями называются сочетания некоторые элементы (или все) которых могут оказаться одинаковыми. Число всевозможных сочетаний с повторениями Пример 8. Десять студентов участвуют в конкурсе на назначение трех губернаторских стипендий. Причем, так как конкурс серьезный и победить в нем могут только настоящие вундеркинды, то для большего поощрения решено, что один человек может получить несколько стипендий одновременно. Сколько существует вариантов распределения стипендий. Решение: . Свойства сочетаний 1. ; 2. ; 3. ; 4. . Число размещений, перестановок и сочетаний связаны между собой равенством .

7. Алгебра событий О.1: Суммой двух событий и называется событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий или .Если события и совместные, то их сумма означает наступление или события , или события , или обоих событий и .Если события и несовместные, то их сумма означает наступление или события , или события . О. 2: Произведением двух событий и называется событие , состоящее в одновременном появлении и .

Аналогично определяются сумма и произведение событий. Свойства суммы и произведения событий: Пусть даны следующие события: 1) - достоверное; 2) - невозможное;

3) - случайное; 4) - противоположное . Тогда справедливы следующие соотношения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) . Пример 8: Произведено два выстрела по мишени. Событие ;

Событие ; Событи Событие

8.Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. О. 1. Два события и называются зависимыми, если вероятность появления каждого из них зависит от того, появилось ли другое событие или нет. О. 2. Два события и называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось ли другое событие или нет. О. 3. Вероятности независимых событий называются безусловными. Пусть и зависимые события. О.4. Условной вероятностью события называется вероятность этого события, вычисленная в предположении, что событие уже произошло. Обозначается или . Условная вероятность события определяется аналогично. Теорема 1. Если и независимые события, то их условные вероятности совпадают с обычными вероятностями, т. е , . Пример 1. В ящике находятся 10 красных шаров и 5 синих. Последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что второй извлеченный шар синий, если: выборка осуществляется без возвращения; выборка осуществляется с возвращением. Решение: Событие - ; Событие - ; В первом случае события и зависимые, а во втором не зависимые. 1) ; 2) . Пусть даны два события и и требуется найти вероятность их совместного появления. Теорема 2. Если и зависимые события, то вероятность их совместного появления (произведения) равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т. е. , .

Следствие: Вероятность совместного появления (произведения) нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже произошли, т. е. . Пример 2. В урне 10 красных, 5 синих и 3 зеленых шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится синий шар, при втором – красный и при третьем – зеленый шар. Решение: События зависимые. Событие - ; Событие - ;

Событие - Теорема 3. Если события и независимые, то вероятность их совместного появления (произведения) равна произведению их вероятностей, т. е. . Следствие: Вероятность совместного появления (произведения) нескольких независимых событий равна произведению вероятностей данных событий, т. е Пример 3. В примере 2 выборка осуществляется с возвращением.Решение. События независимые