Необходимое условие существования экстремума функции
Т-2
Если функции дифференцируема в точке и имеет в этой точке экстремум, то
Достаточные условия существования локального экстремума функции с помощью производной первого порядка
Т-3
Пусть функции непрерывна в некоторой окрестности критической точки и дифференцируема во всех точках этой окрестности, (за исключением, быть может, самой точки ). Если при переходе аргумента слева направо через эту точку производная меняет знак, то в точке функция имеет экстремум. При этом если производная меняет знак с минуса на плюс, то , если же с плюса на минус, то
Достаточные условия существования локального экстремума функции с помощью производных высших порядков
Т-4
Пусть функция является раз дифференцируемой в точке , причем все производные до -го порядка в этой точке равны нулю: , а . Тогда
· если – четное число, то в точке функция имеет экстремум, причем при , а при ;
· если – нечетное число, то экстремума в точке нет.
Следствие (Достаточные условия существования локального экстремума функции с помощью производных второго порядка)
С-1
Если является стационарной точкой функции , т.е. , а существует, конечна и не равна нулю, то при , а при .
Алгоритм исследования функции на локальный экстремум
1-й способ
1) Найти критические точки функции и выбрать среди них те, которые являются внутренними точками области определения функции;
2) исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек:
а) если производная меняет знак с минуса на плюс, то в критической точке локальный минимум,
б) если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной критической точке локальный максимум;
3) выписать точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.
2-й способ
1) Найти стационарные точки функции , т.е. такие точки, в которых производная равна нулю, и выбрать среди них те, которые являются внутренними точками области определения функции;
2) вычислить в выбранных точках производную второго порядка ;
3) рассмотреть случаи:
а) если , то в этой точке функция принимает наибольшее
значение, т.е. ,
б) если , то в этой точке функция принимает наименьшее
значение, т.е. .
3-й способ
1) Найти критические точки функции и выбрать среди них те, которые являются внутренними точками области определения функции;
2) вычислять производные в выбранных точках до тех пор, пока ни получится ненулевая производную -го порядка;
3) рассмотреть случаи:
а) если – четное число, то в точке функция имеет экстремум, причем при , а при ;
б) если – нечетное число, то экстремума нет.
studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования(0.007 с)...
дифференцируема в точке 
и имеет в этой точке экстремум, то 
критической точки 
слева направо через эту точку производная 
меняет знак, то в точке 
имеет экстремум. При этом если производная меняет знак с минуса на плюс, то 
, если же с плюса на минус, то 
раз дифференцируемой в точке 
-го порядка в этой точке равны нулю: 
, а 
. Тогда
· если 
, т.е. 
существует, конечна и не равна нулю, то при 
;
3) рассмотреть случаи:
а) если 
, то в этой точке функция принимает наибольшее
значение, т.е. 
,
б) если 
, то в этой точке функция принимает наименьшее
значение, т.е. 
.
;
б) если 