Классическая вероятность. Комбинаторика

УДК 51-74

Составитель: Л.И.Студеникина

Рецензент

Кандидат физ-мат. наук, доцент кафедры

высшей математики В .И.Дмитриев

Элементы теории вероятностей: методические указания и индивидуальные задания предназначены для организации самостоятельной работы студентов специальностей «Таможенное дело», «Международные отношения» / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: Л.И.Студеникина, Курск, 2013. 40 с.: табл. 4. Библиогр.: с.40.

В данной работе содержатся краткие теоретические положения, образцы выполнения типовых задач, 30 вариантов индивидуальных заданий.

Текст печатается в авторской редакции

Подписано в печать _______. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л.. Уч.-изд. л.. Тираж 50 экз. Заказ____. Бесплатно.

Юго-Западный государственный университет305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

Содержание

§ 1. Классификация событий………………………………………………….

§ 2. Классическая вероятность. Комбинаторика………………...

§ 3. Правила сложения и умножения вероятностей…………….

§ 4. Формула полной вероятности. Формулы Байеса…………...

§ 5. Дискретная случайная величина…………………………….

§ 6. Непрерывная случайная величина…………………………..

§ 7. Теоретические упражнения…………………………………..

§ 8. Индивидуальные задания…………………………………….

Рекомендуемая литература……………………………………….

§ 1. Классификация событий.

Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Например, бросание игрального кубика или монеты, выстрел из оружия и т.д. Возможный результат опыта называют событием или исходом. Множество Ω всех возможных взаимоисключающих исходов опыта называется пространством элементарных событий или исходов. Причем, никакие другие исходы, кроме перечисленных, произойти не могут. Событие вообще – это множество элементарных событий и исходов, вызывающих его появление. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С ….. К примеру, при бросании монеты событие А– выпадение герба, событие В– выпадение решки; в опыте с оружием событие А–попадание в мишень, В–промах. В опыте с кубиком событие А₁ –выпало значение 1, А₂ –значение 2, А₃ –значение 3, А₄ –значение 4, А₅ –значение 5, А₆ –значение 6, поэтому пространство элементарных событий Ω={1,2,3,4,5,6}.

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно наступит в результате данного опыта. Например, выпадение не менее одного очка при бросании игральной кости.

Событие называется невозможным,если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта. Так выпадение числа 7 при броске игральной кости является невозможным.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в этом опыте. Выпадение орла или решки при подбрасывании двух монет – совместные события.

Два события называются несовместными в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несовместными являются попадание и промах при одном выстреле.

Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно не появлению другого. Например, противоположными являются события выпадение орла или решки при одном подбрасывании симметричной монеты.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. При подбрасывании игрального кубика события А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ являются равновозможными.

Суммой нескольких событий А₁, А₂,…, А_n называется объединение множеств А₁ È А₂È… ÈА_n.

Произведением нескольких событий А₁, А₂,…, А_n называется пересечение множеств А₁ÇА₂Ç … Ç А_n.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания никакие другие события, кроме перечисленных, не могут произойти, то есть = Ω

Классическая вероятность. Комбинаторика.

Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей. Элементами комбинаторики являются: перестановки, размещения, сочетания.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же "n" различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок конечного множества из "n" элементов обозначается

Пример. Сколько существует различных способов размещения 5 человек за круглым столом.

Решение. Их можно разместить способами.

Размещениями называют множества, составленные из "n" различных элементов по "m" элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется формулой

Пример. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Решение. Задача сводится к нахождению числа упорядоченных трехэлементных подмножеств в заданном 10-элементном множестве. Следовательно, можно выбрать способами:

Сочетаниями называют комбинации, составленные из "n" различных элементов по "m" элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом (порядок не важен). Число сочетаний

Пример. На таможенном посту смена состоит из 6 человек. Сколькими способами можно отобрать из 10 сотрудников одну смену?

Решение. Искомое число способов равно

Если некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди "n" элементов есть элементов одного вида, элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями

где

Число же размещений с повторениями из "n" элементов по "k" равно .

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А;

n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Из определения вероятности вытекают ее свойства.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равно нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Пример. Из 1000 таможенных деклараций, лежащих в стопке, 80 заполнены неверно. Какова вероятность, что наудачу взятая декларация, будет заполнена верно?