Производная по направлению, градиент. Частные производные и являются «скоростями» изменения функции в направлении осей координат

Частные производные и являются «скоростями» изменения функции в направлении осей координат. Можно вычислить «скорость» изменения функции в направлении произвольного единичного вектора

,

где и – углы между вектором и осями координат.

Для этого надо использовать формулу производной функции по заданному направлению:

.

Вектор называется градиентом функции двух аргументов.

Для функции градиент имеет три координаты, и он равен , а производная по направлению вычисляется по формуле:

,

где , – единичный вектор направления.

По формуле скалярного произведения векторов имеем:

.

из этого следует, что градиент по величине и направлению совпадает с наибольшей скоростью изменения функции.

Например, найти производную функции

по направлению из точки (1; 1; 1) к точке (3; 3; 2).

Находим частные производные:

;

;

.

Находим градиент:

.

Находим единичный вектор направления:

.

Находим производную по направлению:

.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение функции нескольких переменных.

2. Какие существуют способы задания функций нескольких переменных?

3. Что такое линия уровня функции двух переменных?

4. Как находятся частные производные первого и второго порядков функции двух аргументов?

5. Запишите полный дифференциал первого и второго порядка для функции двух аргументов.

6. Что такое производная по направлению?

7. Что такое градиент функции нескольких переменных?

8. Куда направлен градиент функции нескольких переменных?