Двух аргументов

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменной в точке произвольное приращение , оставляя значение переменной неизменным. Тогда соответствующее приращение функции

называется частным приращением функции по переменной в точке .

Если существует предел , то он называется частной производной функции по переменной и обозначается одним из следующих символов:

.

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении переменной . Поэтому частная производная вычисляется по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной.

Аналогично определяется частная производная функции по переменной и обозначается одним из символов:

.

Например, найти частные производные функции . Частную производную находим как производную функции по аргументу при y = const.

.

Аналогично

.

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка и обозначаются следующим образом:

.

Полный дифференциал функции или дифференциал первого порядка от функции находится по формуле:

.

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала. Если и – независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле:

.