Дифференциал функции. Пусть функция имеет отличную от нуля производную

Пусть функция имеет отличную от нуля производную . Следовательно, по свойству предела можно записать , где при .гдео записать некоторой точке ак функция функций:оизводная - ускорение. Умножая все члены полученного равенства на , получим: . Слагаемое называют дифференциалом функции в точке и обозначают .

Найдем дифференциал функции . В этом случае и, следовательно, . Таким образом, дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением . Поэтому дифференциал функции можно записать так: .

Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Приведем примеры нахождения дифференциалов для функций:

1. (sin 5 x) = (sin 5 x)¢ = 5 .

2. (5 x ² – 7 x + 3) = (5 x ² – 7 x + 3)¢ = (10 x – 7) .

Дифференциал функции при малом по абсолютной величине приращении может применяться для приближенных вычислений значений функции. Для этого используют формулу:

.

Эта формула следует из приближенного равенства .

Например, найти приближенное значение . Имеем:

15,8 = 16 – 0,2; х ₀ = 16; = –0,2; f (x) = ;

.