Раздел I. Введение в анализ

1. Понятие множества. Подмножество. Универсальное множество. Способы задания множеств. Равенство и эквивалентность множеств.

2. Пересечение, объединение и разность множеств. Дополнение множества. Диаграммы Эйлера-Венна.

3. Множества чисел. Счётные и несчётные множества. Множество действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства.

4. Модуль действительного числа и его свойства.

5. Числовые множества. Верхняя и нижняя грани, наибольший и наименьший элементы числовых множеств. Числовые промежутки. Окрестность конечной точки и бесконечности.

6. Понятие функции. Основные способы задания функции. Естественная область определения функции. Явная, неявная и параметрическая формы аналитического задания функции. График функции.

7. Основные элементы поведения функции (чётность, нечётность, периодичность, ограниченность, монотонность).

8. Основные элементарные функции (степенные: , , , , ; тригонометрические: , , , ; обратные тригонометрические: , , , ; показательная , логарифмическая ), их свойства и графики.

9. Понятие обратной и сложной функций. Элементарные функции, их классификация. Преобразование графиков элементарных функций.

10. Простейшие элементарные функции: , , , их свойства и графики.

11. Понятие числовой последовательности, арифметические операции над ними. Ограниченные и неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства.

12. Предел числовой последовательности и его геометрический смысл. Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

13. Монотонная последовательность и признак её сходимости. Число . Задача о непрерывном начислении процентов по банковским вкладам.

14. Понятие предела функции в конечной точке и на бесконечности, их геометрический смысл. Односторонние пределы. Условия существования предела функции в конечной точке.

15. Бесконечно малые и большие функции, их основные свойства и взаимосвязь. Примеры бесконечно малых и больших функций.

16. Функции, ограниченные при . Взаимосвязь между функциями, имеющими предел и ограниченными при .

17. Основные теоремы о пределах функций (о пределе постоянной, суммы, разности, произведения и частного функций; о пределе сложной и элементарной функций). Предельный переход в неравенствах.

18. Первый и второй замечательные пределы, их следствия и применение при вычислении пределов.

19. Эквивалентные бесконечно малые функции, их основные свойства и применение при вычислении пределов.

20. Определения непрерывности функции в точке. Понятие непрерывности справа и слева. Условия непрерывности функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями.

21. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Условие существования непрерывной обратной функции.

22. Понятие непрерывности на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке (об ограниченности функции, об обращении функции в нуль, о наибольшем и наименьшем значениях функции).

23. Точки разрыва функции, их классификация и нахождение.

24. Комплексное число, его изображение на плоскости. Комплексно-сопряжённое число. Модуль и аргумент комплексного числа. Различные формы записи комплексного числа (алгебраическая, тригонометрическая). Множество комплексных чисел, его геометрическая интерпретация.

25. Действия над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление) в алгебраической и тригонометрической формах.

26. Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.

27. Понятие многочлена, алгебраического уравнения. Основная теорема алгебры и теорема Безу. Разложение многочлена на множители. Нахождение корней квадратного уравнения на множестве комплексных чисел.