Отыскание параметров уравнения прямой линии по опытным данным. Метод наименьших квадратов

Пусть производится опыт, цель которого является исследование зависимости некоторой физической величины от физической величины (например, зависимости пути, пройденного телом, от времени). Предполагается, что величины и связаны функциональной зависимостью: =φ (, a, b, c,...), где a, b, c,... - параметры функциональной зависимости. Вид этой зависимости и требуется определить из опыта, то есть требуется найти параметры a, b, c,....

Предположим, что в результате опыта мы получили ряд экспериментальных точек (рис. 9.1). Обычно экспериментальные точки на таком графике располагаются не совсем правильным образом — дают некоторый "разброс", то есть обнаруживают случайные отклонения от видимой общей закономерности. Эти отклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения и другими случайными причинами.

Возникает вопрос, как по этим экспериментальным данным наилучшим образом воспроизвести зависимость от ?

Желательно обработать экспериментальные данные так, чтобы по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости от .

y

0 x

Рис. 9.1

Для решения подобных задач обычно применяется расчетный метод, известный под названием "метода наименьших квадратов". Этот метод дает возможность при заданном виде зависимости = φ (, a, b, c,...) так выбрать числовые параметры, a, b, c,..., чтобы кривая = φ (, a, b, c,...) в известном смысле наилучшим образом соответствовала экспериментальным данным.

Часто этот вид кривой определяется непосредственно по внешнему виду экспериментальной зависимости. Например, экспериментальные точки, изображенные на рис. 9.2, явно наводят на мысль о прямолинейной зависимости вида . Зависимость, изображенная на рис. 9.3, хорошо может быть представлена полигоном второй степени и т.д.

Метод наименьших квадратов имеет перед другими методами существенные преимущества: он приводит к сравнительно простому математическому аппарату определения неизвестных параметров , , , ….

Рассмотрим подробнее случай линейной зависимости .

Результаты измерений величины и записывают в виде статистической таблицы:

			…
			…

y y

0 x 0 x

Рис. 9.2 Рис. 9.3

Угловой коэффициент искомой прямой называется выборочным коэффициентом регрессии на и обозначается :

.

Параметры и можно найти из системы двух линейных уравнений. Предполагается, что значения , , …, и соответствующие им значения , , …, наблюдались по одному разу.

, откуда

, (9.1)

. (9.2)

Аналогично можно найти выборочное уравнение регрессии на : , где - выборочный коэффициент регрессии на .