Дискретная двумерная случайная величина

Рассмотрим двумерную дискретную случайную величину Ее двумерное распределение можно представить в виде таблицы,

Y X		...		...
		...		...
. . .	. . .		. . .		. . .	. . .
		...		...
. . .	. . .		. . .		. . .	. . .
		...		...

содержащей в соответствующих клетках вероятности произведения событий (или вероятность того, что случайный вектор ( примет значение ().

Итоговые столбец и строка такой таблицы задают распределения одномерных составляющих или , называемых маргинальными.

Действительно, распределение одномерной случайной величины X можно получить, вычислив по данным таблицы вероятности которые обозначим через . Но случайное событие можно представить как сумму попарно несовместных событий:

откуда по формуле полной вероятности получим

,

Аналогично , .

Так как события образуют полную систему, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице.

Пример 1. В группе 10 студентов, а именно

, где римской цифрой обозначен курс, на котором учится студент, а индексы m и f обозначают пол – соответственно мужской и женский. Определим случайные величины Х -{пол студента}, Y -{курс обучения}. Тогда возможные значения Х = 0 для f, X = 1 для m, Y = 0 для I, Y = 1 для II и т.д., т.е. Х принимает значения от 0 до 1, а Y - от 0 до 3.

Нас интересуют вероятности вида i =1,2; . Все варианты возможных исходов и их совместные вероятности приведены в таблице

Y X
	0,1	0,1	0,1	0,1	0,4
	0,2	0,2	0,1	0,1	0,6
	0,3	0,3	0,2	0,2	1,0

Маргинальные распределения имеют вид:

X					Y
	0,4	0,6	1,0			0,3	0,3	0,2	0,2	1,0

Рассмотрим распределение одной из случайных величин, например, X при определенном значении другой . Для этого необходимо вычислить условные вероятности событий при наступлении события Обозначив эти условные вероятности через , , получим из определения условных вероятностей

.

Таким образом, разделив все элементы k -гоcтолбца таблицы на итоговую вероятность по этому столбцу , получим условное распределение X при .

Аналогично по формуле

определим условные вероятности значений Y при данном значении .

Сумма вероятностей условного распределения равна 1. Продолжим пример. Найти распределение по половому признаку студентов 2-го курса, т.е. при . Выбрав второй столбец из совместного распределения и разделив его на , получим требуемое распределение

X
	1/3	2/3	1,0

Аналогично находим распределение студенток по курсам обучения. Например, для первого

Y
	0,25	0,25	0,25	0,25	1,0

Пример 2. Пусть совместное распределение

i = 1,2,3; k = 1,2,3 случайных доходов (в долларах) фирм Х и Y в течение некоторого дня задано таблицей (без и )

Y X	-100
-200	0,20	0,10	0,05	0,35
	0,05	0,25	0,02	0,32
	0,01	0,02	0,30	0,33
	0,26	0,37	0,37	1,0

Найти:

а) Маргинальное распределение и .

б) Распределение дохода фирмы Y, если фирмой Х был получен доход Х =200$.

в) Средний доход .

Решение:

а)

X	-200					Y	-100
	0,35	0,32	0,33	1,0			0,26	0,37	0,37	1,0

б)

Y	-100
				1,0

в) $.