Задача 12.1.3

В урне находиться (m+2) белых и (n+2) черных шара. Три шара последовательно извлекаются без возвращения их в урну. Найти вероятность того, что третий по счету шар окажется белым.

Решение:

Пусть А – случайное событие, что третий по счету извлеченный шар белый. Это событие можно представить как сумму четырех несовместных событий:

– первый, второй и третий шары белые;

- первый шар черный, второй и третий белые;

- первый и второй шары черные, третий – белый;

- первый и третий шары белые, второй – черный.

А = + + +

По формуле суммы несовместных событий:

P(А) = P +P +P +P

В каждом слагаемом события между собой зависимы, так как шары после извлечения в урну не возвращаются. Пусть m=5, n=2. Тогда в урне
m + n = 5 + 2 = 7 белых шаров и n + 2 = 2 + 2 = 4 черных шаров. Всего шаров 7+4=11. Будем использовать классическое определение вероятности и теорему умножения для зависимых событий:

(всего шаров 11, 7 – белых)

(после извлечения первого белого шара в урне остается 10 шаров, среди которых 6 белых)

(после извлечения первого и второго белых шаров, в урне осталось 9 шаров, среди которых 5 белых)

Таким образом имеем:

Аналогично рассуждая, получим:

Тема 12.2. Случайные величины.

Общие указания.
Кроме случайных событий и вероятностей их появления, в теории вероятностей изучают случайные величины – величины, которые в результате испытания принимают те или иные значения в зависимости от исхода испытания. Для решения задач по теме 12.2. Случайные величины нужно уяснить:

1.Рассматриваются случайные величины только двух типов – дискретные и непрерывные.

2. Дискретная случайная величина (обычно обозначают X, Y …) полностью определяется своим законом распределения – таблицей, в которой перечислены все значения и вероятности, с которыми она принимает эти значения.

3. Универсальным способом задания случайной величины является функция распределения – вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее произвольно выбранного значения действительного числа х:

4. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей оси ОХ. При изучении непрерывных случайных величин основным является понятие плотности вероятности

.

5. При решении задач используются свойства закона распределения случайной величины, функции распределения и функции плотности .

6. Случайные величины удобно характеризовать с помощью нескольких числовых характеристик – определяющих свойства случайной величины. К основным из них относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Надо знать формулы для их вычисления и смысл каждой как для дискретных, так и для непрерывных величин.

7. Задачи 12.2.3 и 12.2.4 требуют знаний основных законов распределения случайных величин и их числовых характеристик: биноминальное, геометрическое, пуассоновское, равномерное, показательное и нормальное распределение.