![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема Чебышева. Если Х – неотрицательная случайная величина и М(Х) – её математическое ожидание, то для любой А>0 имеет место неравенство
, (1.7.1)
или . (1.7.1’)
Если случайная величина имеет дисперсию D(X), то для любого имеет место неравенство Чебышева:
, (1.7.2)
или . (1.7.2’)
Если - средняя арифметическая независимых случайных величин
, k= 1, … n, каждая из которых имеет
и
, то неравенство Чебышева принимает вид
. (1.7.3)
Для случайных величин, одинаково распределённых с и
, неравенство (1.7.3) принимает вид
. (1.7.4)
Если дисперсия независимых случайных величин равномерно ограничены числом С, то следствием (1.7.2) является неравенство
. (1.7.5)
Следствием (1.7.2) является также неравенство Чебышева для случайной величины, распределенной по биноминальному закону:
, (1.7.6)
и для случайной величины, равной частности появлений события в n независимых испытаниях:
. (1.7.7)
Теорема Ляпунова. Пусть дана последовательность независимых случайных величин , k= 1, … n,…, для каждой из которых существует математическое ожидание
=
, дисперсия
=
и третий центральный абсолютный момент
. Если выполняется условие
(1.7.8)
то случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием М(Х)=∑
и дисперсией
=
.
Теорема Ляпунова относится к группе теорем, объединённых общим названием центральная предельная теорема. Одна из простых формулировок центральной предельной теоремы относится к одинаково распределённым случайным величинам: если - независимые одинаково распределённые случайные величины с математическими ожиданиями
и дисперсиями
, то при неограниченном увеличении их числа n закон распределения их суммы X приближается к нормальному с параметрами M(X)=na и D(X)=
.
Теорема Лапласа. Пусть m – частота появлений события A в n независимых испытаниях, а p – вероятность наступления события A в отдельном испытании. При случайная величина
распределена нормально с М(Х)=0 и D(X)=1, то есть
.
Приближение формулы Муавра – Лапласа следует из того, что закон распределения случайной величины при большом n близок к нормальному с плотностью вероятности
.
Задача 1.7.1
Математическое ожидание скорости ветра на аэродроме равно 7 м/с. Оценить вероятность того, что скорость ветра на аэродроме а) не превзойдет 28 м/с: б) будет не менее 35 м/с.
Решение. Случайная величина Х – скорость ветра. а) по условию А – 28 м/с. Применяем неравенство (1.7.1’):
б) По условию А = 35 м/с. Применяем неравенство (1.7.1):
.
Задача 1.7.2
Средний вес детали равен 50 г, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что вес случайно выбранной из партии детали окажется в границах (49,5;50,5).
Решение. Случайная величина Х – вес детали. По условию
=50 г,
=0,1 и
=0,5. Неравенство 49,5< X <50,5 равносильно -0,5< X -50<0,5, или
. Поэтому применяем неравенство Чебышева (1.7.2’):
Искомая вероятность не меньше 0,6.
Задача 1.7.3
Сумма всех вкладов в некоторую сберегательную кассу составляет 20000 руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 100 руб., равна 0,8. Что можно сказать о числе вкладчиков данной сберкассы?
Решение. Пусть Х – размер случайно взятого вклада,а n – число всех вкладов. Тогда из условия задачи средний размер вклада Так как
и по неравенству (1.7.1’)
то
Отсюда
и, следовательно,
Задача 1.7.4
Ёмкость изготовляемого заводом конденсатора должна быть по техническим условиям равной 2 мкФ с разрешённым допуском 0,1 мкФ. Завод добился средней ёмкости, равной 2 мкФ с дисперсией, равной 0,004 мкФ . Какова вероятность изготовления бракованного конденсатора? Расчёт провести по неравенству Чебышева, предположив, что ёмкости конденсаторов распределены по нормальному закону с теми же параметрами.
Решение. Конденсатор будет бракованным, если отклонение ёмкости конденсатора Х от среднего значения М(Х) =2 мкФ будет по абсолютной величине болеем =0,1 мкФ. По неравенству Чебышева (1.7.2) имеем
а поэтому вероятность события P
Если же предположить, что значения ёмкости распределены по нормальному закону, то
Видим, что, используя значение о нормальном законе распределения, ответ получаем более точным. Неравенство же Чебышева дает грубую оценку, зато оно применимо к случайным величинам, распределенным по любому закону.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 404 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!