![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях пользуются предельными теоремами Лапласа. а) Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которые вероятность появления события равна р(о<р < 1), событие наступит ровно m раз, выражается приближенным равенством
Функция у(х) - четная, т.е. у(-х)= γ(х). При х>5 можно считать, что γ(x)=0. б) интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n, независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления. события равна р, событие наступит не менее m1 раз и не более m2 раз, выражается приближенным равенствам
При >5 полагают Ф(х)=5. Функция Лапласа – нечетная, т.е.
Ф(-х)=-Ф(х), Ф(0)=0.
Если число испытаний достаточно велико, а р - мало при, этом не больше 10 (
10), то вероятность
можно найти приближенно по формуле Пуассона:
.
Задача 1.5.1
Прибор состоят из 200 деталей, каждая из которых за врем tможет выйти из строя с вероятностью р=0 01. Найти вероятность того, что за время t выйдут из строя: а) 3 детали; б) не более 3 деталей; г) от двух до четырех деталей включительно.
Решение: В данном случае n=200, m=0.01, q=0.99, m- количество деталей, вышедших аз строя за время t. а) m=3;РЗ;200 по формуле Бернулли равно
Оценим значение |
Практически формула непригодна для вычисления. Найдем np=200 0.01=2, меньше 10 Можно использовать формулу Пуассона при X = 2 и m=3; сразу получаем Р3,200 =0.1805; б) - не более 3 деталей вышло из строя
Для вычисления каждого слагаемого используем формулу Пуассона, определяя значения вероятностей по таблице при и при m=0,1, 2,3.
Р200() = 0.8572;
в){т > 2}- не менее двух деталей вышло из строя.Здесь следует перейти к противоположному событию m<2. Тогда Р200(m>2)=1-Р0,2ОО –P1,200=0.5940.
г)2< m < 1 от двух до четырех деталей включительно за время t вышли из строя следует найти Р200 (2 < m < 4)=Р2,200+Р3,200+Р4,200. Используя, формулу Пуассона опять при =2 и m=2,3,4 по таблице находим
Р200
Задача 1.5.2
Вероятность изделию быть, бракованным равна 0.05. Найти вероятность того, что среди 1000 изделий а) 40 бракованных; б) число бракованных находится впромежутке от 40 до 70 включительно; в) сколько изделий надо взять, чтобы с вероятностью, не менее 0,9 среди них оказалось не менее 50 бракованных?
Решение: Испытание изделий на брак удовлетворяет модели испытаний Бернулли Вероятность для каждого изделия быть бракованным, р=0.05, а набракованным q=0.95. Испытаниям подвергаются n=1000 изделий.
a) m=40; Р 40,1000 находим по формуле Муавра Лапласа. Определим необходимые величины: np=50; npq=47,5,
f(-1.45)=f(1.45)=0.1392.Окончательно получаем
б) Р1000 (40< m < 70) находим по интегральной формуле Муавра –Лапласа при
в) необходимо найти число n,удовлетворяющее условию
(Очевидно, что ).Следовательно Ф(x2)=1. Получаем
По таблице, что Ф(t)=-0,8 при t=-1,29. Поэтому и после упрощения получаем
Решив это неравенство, найдем
Следует взять менее 1198 изделий.
1.6 Функция распределения случайной величины. Непрерывная случайная величина
Функция распределения F(x) примет значение
F(x)=P(X<x). (1.6.1)
Свойства функции распределения: F(- ) = 0; F(+
) = 1. О < F(x) < 1; если х2 >
, to F(
)
F(
).
Вероятность попадания случайной величины X в промежуток [а;b) определяется формулой
P(a<X<b) = F(b)-F{a). (1.6.2)
Существуют случайные величины, множество значений которых непрерывно заполняют некоторый числовой промежуток.
Если функция F(x) распределения случайной величины X непрерывна и имеет почти всюду (кроме, возможно, конечного числа точек) непрерывную производную, то случайную величину X называют непрерывной, а функцию f(x) = F'(x) называют плотностью вероятности случайной величины X. Имеют место формулы:
а) б)
в) ; г)
. (1.6.3)
Вероятность того, что непрерывная случайная величина имеет конкретное значение, равна нулю.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется число M(X), равное
(1.6.4)
Дисперсия D(x) непрерывной случайной величины X определяется по формуле
(1.6.5)
Задача 1.6.1
Прибор состоит из двух блоков, вероятность безотказной работы каждого из которых в течение времени равна 0,5. Найти ряд распределения для числа блоков, работающих, и момент t=T. Найти функцию распределения F(x) ДСВ X
Решение. Обозначим состояние каждого блока через (R) или (О), в зависимости от того, работает он или отказал. Вероятность F(R) = P(O)= 1/2. Множество всех исходов опыта Е содержит 4 элемента, вероятность каждого равна ¼, Е = {(0,0); (0,R); (R,0); (R,R)}- Случайная величина X- число работающих блоков к моменту t. Случаю (О О) соответствует значение X=0 (оба блока отказали), = Р(Х = 0) = 1/4, случаям (О R) и (R О) соответствует значение Х=1 (один блок отказал),
= Р(X = 1)=1/4+1/4=1/2. Случаю (R R) соответствует значение Х=2 (оба блока работают),
= Р(Х = 2) =1/4.
Ряд распределения для случайной величины Х- числа работающих блоков имеет вид
![]() | 0 | 1 | 2 |
![]() | 1/4 | 1/2 | 1/4 |
Если x 0, то F(x)=0, так как нет ни одного значения X левее нуля.
Если 0 < x 1,то в промежуток (-
;0) попадает одно значение Х=0, следовательно, F(x)=P(x=0)=1/4.
Если 1 < x 2,то в промежуток (-
;х) попадает два значения X =0 и X =1, следовательно, F(x) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) = ¾.
Если 2 < x
,то в промежуток (-
; x) попадают все значения X, т.е. Х=0, Х=1, Х=2. Следовательно, F(x) =1.
Получаем
Задача 1.6.2
Составить функцию распределения случайной величины, распределенной по биномиальному закону.
Решение. X принимает значение с вероятностями. При
. При
нужно найти сумму значений, попавших в промежуток от -
до x, т.е. значения 0,1,2…k.
Следовательно, . При x>n, F(x)=1.
Задача 1.6.3
Случайная величина Х имеет плотность распределения, пропорциональную х при 0 и равную 0 при
и
.
а) Найти выражение для f(x)
б) Найти М(х), D(x), .
Решение. а) Выражение плотности распределения имеет вид
Пользуясь свойством плотности распределения, находим
откуда 1/2
б) Математическое ожидание М(Х)=
Дисперсия D(X)=
Задача 1.6.4
Задана функция распределения случайной величины X:
Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (1;3).
Решение. Вероятность попадания случайной величины в интервал (1;3) по формуле (1.2) равна P(1<X<3)=F(3)-F(1)=1-1/2=1/2.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1797 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!