Предельные теоремы

Если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях пользуются предельными теоремами Лапласа. а) Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которые вероятность появления события равна р(о<р < 1), событие наступит ровно m раз, выражается приближенным равенством

Функция у(х) - четная, т.е. у(-х)= γ(х). При х>5 можно считать, что γ(x)=0. б) интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n, независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления. события равна р, событие наступит не менее m1 раз и не более m2 раз, выражается приближенным равенствам

При >5 полагают Ф(х)=5. Функция Лапласа – нечетная, т.е.

Ф(-х)=-Ф(х), Ф(0)=0.

Если число испытаний достаточно велико, а р - мало при, этом не больше 10 ( 10), то вероятность можно найти приближенно по формуле Пуассона: .

Задача 1.5.1

Прибор состоят из 200 деталей, каждая из которых за врем tможет выйти из строя с вероятностью р=0 01. Найти вероятность того, что за время t выйдут из строя: а) 3 детали; б) не более 3 деталей; г) от двух до четырех деталей включительно.

Решение: В данном случае n=200, m=0.01, q=0.99, m- количество деталей, вышедших аз строя за время t. а) m=3;РЗ;200 по формуле Бернулли равно

Оценим значение

Практически формула непригодна для вычисления. Найдем np=200 0.01=2, меньше 10 Можно использовать формулу Пуассона при X = 2 и m=3; сразу получаем Р3,200 =0.1805; б) - не более 3 деталей вышло из строя

Для вычисления каждого слагаемого используем формулу Пуассона, определяя значения вероятностей по таблице при и при m=0,1, 2,3.

Р200() = 0.8572;

в){т > 2}- не менее двух деталей вышло из строя.Здесь следует перейти к противоположному событию m<2. Тогда Р200(m>2)=1-Р0,2ОО –P1,200=0.5940.

г)2< m < 1 от двух до четырех деталей включительно за время t вышли из строя следует найти Р200 (2 < m < 4)=Р2,200+Р3,200+Р4,200. Используя, формулу Пуассона опять при =2 и m=2,3,4 по таблице находим

Р200

Задача 1.5.2

Вероятность изделию быть, бракованным равна 0.05. Найти вероятность того, что среди 1000 изделий а) 40 бракованных; б) число бракованных находится впромежутке от 40 до 70 включительно; в) сколько изделий надо взять, чтобы с вероятностью, не менее 0,9 среди них оказалось не менее 50 бракованных?

Решение: Испытание изделий на брак удовлетворяет модели испытаний Бернулли Вероятность для каждого изделия быть бракованным, р=0.05, а набракованным q=0.95. Испытаниям подвергаются n=1000 изделий.

a) m=40; Р 40,1000 находим по формуле Муавра Лапласа. Определим необходимые величины: np=50; npq=47,5,

f(-1.45)=f(1.45)=0.1392.Окончательно получаем

б) Р1000 (40< m < 70) находим по интегральной формуле Муавра –Лапласа при

в) необходимо найти число n,удовлетворяющее условию

(Очевидно, что ).Следовательно Ф(x2)=1. Получаем

По таблице, что Ф(t)=-0,8 при t=-1,29. Поэтому и после упрощения получаем Решив это неравенство, найдем Следует взять менее 1198 изделий.

1.6 Функция распределения случайной величины. Непрерывная случайная величина

Функция распределения F(x) примет значение

F(x)=P(X<x). (1.6.1)

Свойства функции распределения: F(- ) = 0; F(+ ) = 1. О < F(x) < 1; если х₂ > , to F() F().

Вероятность попадания случайной величины X в промежуток [а;b) определя­ется формулой

P(a<X<b) = F(b)-F{a). (1.6.2)

Существуют случайные величины, множество значений которых непрерывно заполняют некоторый числовой промежуток.

Если функция F(x) распределения случайной величины X непрерывна и имеет почти всюду (кроме, возможно, конечного числа точек) непрерывную производ­ную, то случайную величину X называют непрерывной, а функцию f(x) = F'(x) называют плотностью вероятности случайной величины X. Имеют место формулы:

а) б)

в) ; г) . (1.6.3)

Вероятность того, что непрерывная случайная величина имеет конкретное значение, равна нулю.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется число M(X), равное

(1.6.4)

Дисперсия D(x) непрерывной случайной величины X определяется по формуле

(1.6.5)

Задача 1.6.1

Прибор состоит из двух блоков, вероятность безотказной работы каждого из которых в течение времени равна 0,5. Найти ряд распределения для числа блоков, работающих, и момент t=T. Найти функ­цию распределения F(x) ДСВ X

Решение. Обозначим состояние каждого блока через (R) или (О), в зависимо­сти от того, работает он или отказал. Вероятность F(R) = P(O)= 1/2. Множество всех исходов опыта Е содержит 4 элемента, вероятность каждого равна ¼, Е = {(0,0); (0,R); (R,0); (R,R)}- Случайная величина X- число работающих блоков к моменту t. Случаю (О О) соответствует значение X=0 (оба блока отказали), = Р(Х = 0) = 1/4, случаям (О R) и (R О) соответствует значение Х=1 (один блок отказал), = Р(X = 1)=1/4+1/4=1/2. Случаю (R R) соответствует зна­чение Х=2 (оба блока работают), = Р(Х = 2) =1/4.

Ряд распределения для случайной величины Х- числа работающих блоков имеет вид

	0	1	2
	1/4	1/2	1/4

Если x 0, то F(x)=0, так как нет ни одного значения X левее нуля.

Если 0 < x 1,то в промежуток (- ;0) попадает одно значение Х=0, следователь­но, F(x)=P(x=0)=1/4.

Если 1 < x 2,то в промежуток (- ;х) попадает два значения X =0 и X =1, следо­вательно, F(x) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) = ¾.

Если 2 < x ,то в промежуток (- ; x) попадают все значения X, т.е. Х=0, Х=1, Х=2. Следовательно, F(x) =1.

Получаем

Задача 1.6.2

Составить функцию распределения случайной величины, распре­деленной по биномиальному закону.

Решение. X принимает значение с вероятностями. При . При нужно найти сумму значений, попавших в промежуток от - до x, т.е. значения 0,1,2…k.

Следовательно, . При x>n, F(x)=1.

Задача 1.6.3

Случайная величина Х имеет плотность распределения, пропорциональную х при 0 и равную 0 при и .

а) Найти выражение для f(x)

б) Найти М(х), D(x), .

Решение. а) Выражение плотности распределения имеет вид

Пользуясь свойством плотности распределения, находим

откуда 1/2

б) Математическое ожидание М(Х)=

Дисперсия D(X)=

Задача 1.6.4

Задана функция распределения случайной величины X:

Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (1;3).

Решение. Вероятность попадания случайной величины в интервал (1;3) по формуле (1.2) равна P(1<X<3)=F(3)-F(1)=1-1/2=1/2.