![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Непосредственный подсчет вероятности, основанный на построении полной группы событий, практически редко может быть осуществлен. Поэтому основной задачей теории является рассмотрение различных теорем, с помощью которых вероятности одних событий определяются по вероятностям других событий. Важнейшие из них - теоремы сложения и умножения. Условная вероятность события А относительно события В равна:
(1.2.1)
Выражение (1.2.1) получило название теоремы умножения вероятностей.
В случае произведения более чем двух событий теорема умножения вероятностей принимает вид
События независимы в
совокупности, если
(1.2.2)
Теорема сложения вероятностей: если события попарно несовместимы, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:
(1.2.3)
Если несовместные события образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна 1. В частности, для двух, противоположных событий Аи имеет место равенство
, и поэтому вероятность противоположного события вычисляется по формуле
Если события совместны, то формулы для вероятности суммы этих событий усложняются. Например, вероятность суммы двух местных событий равна
,
а вероятность суммы трех совместных событий
Задача 1.2.1
Из коробки, содержащей 5 красных и 3 черных шариковых ручки, извлекают 2 ручки. Найти вероятность того, что: а) обе ручки красные. 6) ручки разных цветов. Рассмотреть 2 случая: 1) извлеченная первой ручка не возвращается в коробку; 2) извлеченная первой ручка возвращается в коробку перед извлечением второй.
Решение. Введём обозначения для событий: А - обе ручки красного цвета;В - ручки разных цветов. Следует определить Р(А) и Р(В)
Введём события, связанные с извлечением одной ручки: А1-первая ручка: красная; - первая ручка чёрная, А2 - вторая ручка красная;
вторая ручка черная. Тогда
и
.
Применяем формулы (1.2.1) и (1.2.3).
В данном случае события и
несовместны.
1 случай. Так как после наступления
ручка не возвращается, то в коробке окажется 7 ручек. Из которых 4 красных и поэтому
2 случай. (так как после наступления
ручка возвращена в коробку).
а) . б)
.
Задача 1.2.2
Прибор собирается последовательно четырьмя рабочими. Независимо от остальных 1-й может допустить брак вероятностью 0,1,2-й и 3-й - с вероятностью 0,09, а 4-й -0,15. Готовый прибор относится к I сорту, если ни один рабочий не допустил брак, ко II, если брак допущен 2-м или 3-м рабочим, к III сорту, если брак допустили 1 -й или 4-й рабочие и признаётся негодным в остальных случаях. Найти вероятности следующих событий:А - прибор признан I сорта; В - II сорта; С - Ш сорта; D - прибор признан негодным.
Решение: Обозначим Через Аi событие, состоящее в том, что i-ый рабочий не допустил брак, тогда -i-ый рабочий допустил брак i =1,2,3, 4. В условии дано Р(А1) =01; Р(А2)= Р(АЗ)=0,09; Р(А4)=0,15. Тогда P(A1)=0.9; P(A2)=P(A3)=0.91; Р(A4) = 0.85
Интересующие нас события можно представить следующим образом: A=A1А2А3А4; B=A1A2A3A4+ А2А3А4;C=A1A2A3A4+
A2A3А4. Событие D противоположно сумме событий А+В+С, т.е. D= A+B+C:
Применяем формулы (1.2.2) для независимых событий и (1.2.3) для несовместных событий-слагаемых в выражениях для В и С, получим
Задача 1.2.3
Вероятность того, что проходящая машина потребует заправки в данном пункте, равна 0.3. Сколько должно пройти машин чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0.9 можно было утверждать, что хотя бы одна потребует заправки?
Решение; Введем обозначения для событий: Аi –i-я машина потребует заправки и С - хотя бы одна машина из и потребует заправка. Тогда С=А1+А2+...+Аn.
Однако все слагаемые совместны, поэтому перейден противоположному событию С -“ни одна машина из n потребует заправки” получим
События A1,А2,..., An, а следовательно, _ A1 А2…Аn независимы и имеют одну и ту же вероятность
Поэтому По условию задачи
те.
Решая это неравенство, найдем последовательно
n lg 0.7
lg 0,1, откуда
. Окончательно получаем n=7.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 395 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!