Проинтегрировав левую и правую части уравнения (3.26), получим

, (3.27)

где С' – некоторая постоянная интегрирования, значение которой можно найти, используя второе начальное условие.

Так как в начальный момент времени координата тела х = х ₀, то подставляя значение t = 0 в выражение (3.27), получим:

Тогда закон движения примет вид:

. (3.28)

4. Найдем закон изменения ускорения а_х = а_х (t):

Подставляя выражение (3.24) в уравнение (3.21), получим:

.

Тогда закон изменения ускорения имеет вид:

. (3.29)

5. Перепишем уравнения (3.24), (3.28) и (3.29) с учетом данных условия задачи:

;

;

.

6. Построим графики зависимостей х = х (t), V_х = V_х (t) и а_х = а_х (t) для отрезка времени 0 ≤ t ≤ 5 с (рисунок 3.3):

4 ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ПРОЦЕССОВ

4.1 Краткие теоретические сведения

Идеальный газ – это модель реального газа, обладающая следующими свойствами:

1) собственный объём молекул газа пренебрежительно мал по сравнению с объёмом сосуда;

2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;

3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Модель идеального газа можно использовать при изучении реальных газов, так как в условиях, близких к нормальным (p ₀ ≈ 10⁵ Па; T ₀ ≈ 273 К), а также при низких давлениях и высоких температурах, реальные газы близки по своим свойствам к идеальному. Кроме того, введя поправки, учитывающие собственный объём молекул газа и силы межмолекулярного взаимодействия, можно перейти к теории реальных газов.

Уравнение состояния газа –это уравнение, связывающее параметры, характеризующие состояние газа. К ним относятся: давление (p), объём (V), температура (Т).

Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния газа):

.

где p – давление газа, Па;

V – объем газа, м³;

m – масса газа, кг;

µ – молярная масса газа, кг/моль;

ν – количество вещества, моль;

R = 8,31 Дж/(моль∙К) – универсальная газовая постоянная.

Уравнение Клапейрона (уравнение состояния для данной массы газа):

,

где В – газовая постоянная, различная для разных газов.

Частные случаи уравнения состояния для данной массы газа (изопроцессы)

Изопроцесс – это процесс, при котором один из параметров, характеризующих состояние данной массы газа, остаётся постоянным (таблица 4.1).

Таблица 4.1 − Изопроцессы

название процесса	постоянный параметр	уравнение	графики
изотермический	m = const T = const	pV = const   закон Бойля–Мариотта
изохорный	m = const V = const	закон Шарля
изобарный	m = const p = const	закон Гей-Люссака

4.2 Пример выполнения задания

Задача:

На рисунке 4.1 показаны графики процессов в координатах "давление-объём" (р-V). Нелинейные участки графиков считать отрезками гипербол.

Назвать указанные процессы и изобразить их графики в координатах "давление-температура" (р-Т)и "объём-температура" (V-T).

Решение (для решения задачи воспользуемся данными таблицы 4.1):

1. Назовём процессы, графики которых представлены на рисунке 4.1:

Процесс 1–2:

р ₂ = р ₁, (т. е р = const) – изобарный процесс;

V ₂ = 2 V _l – объем увеличивается в 2 раза (газ расширяется), следовательно, по закону Гей–Люссака Т ₂ = 2 Т ₁ – температура увеличивается в 2 раза (газ нагревается).

Следовательно, процесс 1–2 – это изобарное расширение газа, сопровождающееся нагреванием.

Процесс 2–3:

T ₃ = T ₂, (т. е T = const) – изотермический процесс;

V ₃ = 2 V ₂ – объем увеличивается в 2 раза (газ расширяется), следовательно, по закону Бойля–Мариотта – давление уменьшается в 2 раза.

Следовательно, процесс 2–3 – это изотермическое расширение газа, сопровождающееся понижением давления.

Процесс 3–4:

V ₄ = V ₃, (т. е V = const) – изохорный процесс;

– давление уменьшается в 2 раза, следовательно, по закону Шарля – температура уменьшается в 2 раза (газ охлаждается).

Следовательно, процесс 3–4 – это изохорное охлаждение газа, сопровождающееся понижением давления.

Процесс 4–1:

T ₁ = T ₄, (т. е T = const) – изотермический процесс;

– объем уменьшается в 4 раза (газ сжимается), следовательно, по закону Бойля–Мариотта р ₁ = 4 р ₄ – давление увеличивается в 4 раза.

Следовательно, процесс 4–1 – это изотермическое сжатие газа, сопровождающееся повышением давления.

2. Построим графики данных процессов в координатах "давление-температура" (р-Т) и "объём-температура" (V-T) (рисунок 4.2):

5 ЭЛЕКТРОСТАТИКА

5.1 Краткие теоретические сведения

Электростатика – это физическая теория (раздел электродинамики), изучающая свойства неподвижных электрических зарядов и их взаимодействия посредством электростатических полей.

Электрические заряды делятся на положительные и отрицательные. Наименьшей устойчивой частицей, которая обладает отрицательным электрическим зарядом и входит в состав любого вещества, является электрон, положительным электрическим зарядом – протон. Электрический заряд протона и электрона называется элементарным зарядом и численно равен ≈ 1,6·10^–19 Кл. Электрический заряд любого заряженного тела равен целому числу элементарных зарядов.

Силы взаимодействия между заряженными телами зависят от их формы и размеров и характера распределения заряда на этих телах.

При изучении электростатических полей используют физическую модель – точечный заряд – это заряд, распределенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстояниями от него до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.

Сила электростатического взаимодействия точечных зарядов определяется законом Кулона: Сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов прямо пропорциональна произведению модулей зарядов q ₁ и q ₂, обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и зависит от свойств среды:

,

где – коэффициент пропорциональности;

– электрическая постоянная;

ε – диэлектрическая проницаемость среды.

Сила Кулона, направлена по прямой, соединяющей заряды, и подчиняется третьему закону Ньютона(F ₁₂ = F ₂₁), при этом одноименные заряды отталкиваются (рисунок 5.1а), разноименные – притягиваются (рисунок 5.1б).

Диэлектрическая проницаемость среды показывает во сколько раз сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме F ₀ больше силы взаимодействия в среде F_ср

.

Характеристики электростатического поля:

1. Напряжённость – это векторная физическая величина, характеризующая электростатическое поле и численно равная отношению силы, действующей на заряд q ₀, помещённый в данную точку поля, к величине этого заряда:

; .

Направление вектора напряжённости совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд, помещенный в данную точку поля (противоположно направлению силы, действующей на отрицательный заряд, помещенный в данную точку поля) (рисунок 5.2).

2. Потенциал j – это скалярная физическая величина, характеризующая электростатическое поле и численно равная отношению потенциальной энергии заряда q ₀, помещённого в данную точку поля, к величине этого заряда:

; .

Связь между характеристиками электростатического поля:

1) в общем случае:

;

2) для поля, обладающего центральной или осевой симметрией:

;

3) для однородного поля:

.

Знак «–» показывает, что напряженность электростатического поля направлена в сторону убывания потенциала.

Модуль вектора напряжённости и потенциал поля точечного заряда q в некоторой точке поля, удаленной от заряда на расстояние r

, .

Каждый электрический заряд создает в пространстве электростатическое поле независимо от наличия других электрических зарядов, поэтому, если в данной точке электростатическое поле создано не одним точечным зарядом, а системой зарядов, то, согласно принципу суперпозиции (наложения) электростатических полей:

1. Напряжённость результирующего поля системы зарядов равна геометрической сумме напряженностей полей каждого заряда в отдельности (рисунок 5.3):

.

В зависимости от взаимного расположения векторов и (рисунок 5.3) модуль напряженности результирующего поля может быть найден различным образом:

а) Если векторы и расположены вдоль одной прямой и направлены в одну сторону (рисунок 5.3а), то модуль напряженности результирующего

поля находится по формуле

.

б) Если векторы и расположены вдоль одной прямой и направлены в противоположные стороны (рисунок 5.3б), то модуль напряженности результирующего поля находится по формуле

,

вектор направлен в сторону большего по модулю из векторов и .

в) Если векторы и образуют прямоугольный треугольник (рисунок 5.3в), то модуль напряженности результирующего поля находится по теореме Пифагора

г) Если векторы и образуют произвольный треугольник (рисунок 5.3г), то модуль напряженности результирующего поля находится по теореме косинусов

,

где a – угол, противолежащий стороне Е_А;

a = π – b, где b – угол между векторами и .

2. Потенциал результирующего поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей каждого заряда в отдельности:

.

5.2 Пример выполнения задания

Задача 1:

Два неподвижных точечных заряда q ₁ = 1 нКл и q ₂ = – 2 нКл находятся в воздухе на расстоянии r = 10 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал j поля этих зарядов в точке А, удаленной от заряда q ₁ на расстояние r ₁ = 9 см и от заряда q ₂ на расстояние r ₂ = 7 см (рисунок 5.4).

Решение:

1. Согласно принципу суперпозиции электростатических полей, напряженность результирующего поля в исследуемой точке А равна

,

где – вектор напряженности поля точечного заряда q ₁ в точке А;

– вектор напряженности поля точечного заряда q ₂ в точке А.

Для определения направления векторов и в исследуемую точку А «мысленно» помещают пробный положительный заряд q ₀ и рассматривают силы взаимодействия между зарядами q ₀ и q ₁, q ₀ и q ₂. Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы Кулона, действующей со стороны заряда q ₁ на заряд q ₀; направление вектора напряженности совпадает с направлением силы Кулона, действующей со стороны заряда q ₂ на заряд q ₀; направление вектора напряженности результирующего поля определяется геометрическим сложением векторов и по правилу параллелограмма.

Модуль вектора напряженности Е_А результирующего поля найдем, используя теорему косинусов для треугольника со сторонами Е ₁, Е ₂ и Е_А:

, (5.1)

где Е ₁ – модуль напряженности поля точечного заряда q ₁ в точке А,

, (5.2)

Е ₂ – модуль напряженности поля точечного заряда q ₂ в точке А,

, (5.3)

a – угол между сторонами Е ₁ и Е ₂.

Из чертежа (рисунок 5.4) видно, что угол a может быть также найден с помощью теоремы косинусов, записанной для треугольника со сторонами r ₁, r ₂ и r:

.

В данной задаче во избежание громоздких записей удобно значение cos a вычислить отдельно:

.

Подставляя выражения (5.2) и (5.3) в выражение (5.1) и вынося общий множитель за скобки и из-под знака корня, получим

. (5.4)

2. Согласно принципу суперпозиции электростатических полей, потенциал результирующего поля в исследуемой точке А равен

, (5.5)

где j ₁ – потенциал поля точечного заряда q ₁ в точке А,

, (5.6)

j ₂ – потенциал поля точечного заряда q ₂ в точке А,

. (5.7)

Подставляя выражения (5.6) и (5.7) в выражение (5.5) и вынося общий

множитель за скобки, получим

. (5.8)

3. Произведем вычисления:

.

–162 В.

Ответ: Е_А = 2,5 кВ / м, j_А = –162 В.

Задача 2:

По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R = 15 см, равномерно распределён заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определить напряжённость Е и потенциал j поля нити в точке О, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина нити ℓ составляет 1/3 длины окружности.

Решение:

1. Сделаем чертёж (рисунок 5.5): выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось O y была бы симметрично расположена относительно концов дуги.

Разобьём нить на элементарные участки длины dℓ, каждый из которых обладает зарядом dq =τ dℓ, который можно считать точечным.

2. Каждый электрический заряд dq создает в точке О электростатическое поле напряженностью независимо от наличия других электрических зарядов и согласно принципу суперпозиции (наложения) электростатических полей, напряженность поля нити в точке О равна

(интегрирование ведется вдоль дуги длиной ℓ). (5.9)

Разложим вектор на составляющие вдоль координатных осей

. (5.10)

Тогда, подставляя выражение (5.10) в выражение (5.9), получим

.

Однако в силу симметрии , поэтому . (5.11)

Учитывая, что все вектора направлены в одну сторону (вдоль оси О y), то выражение (5.11) можно переписать в скалярном виде

, (5.12)

где . (5.13)

Модуль напряженности поля точечного заряда dq в точке О определяется по формуле

. (5.14)

Учитывая связь линейного и углового перемещений (da – измеряется в радианах) и, подставляя выражение (5.14) в выражение (5.13), получим

. (5.15)

Так как длина нити составляет 1/3 длины окружности, то угол a изменяется в пределах

. (5.16)

Тогда, подставляя выражение (5.15) в выражение (5.12) и учитывая выражение (5.16) в качестве пределов интегрирования, получим

.

Каждый электрический заряд dq создает в точке О электростатическое поле с потенциалом dj и, согласно принципу суперпозиции электростатических полей потенциал поля нити в точке О равен

(интегрирование ведется вдоль дуги длиной ℓ). (5.14)

Потенциал поля точечного заряда dq в точке О определяется по формуле

, (5.15)

тогда, подставляя выражение (5.15) в выражение (5.14) и учитывая, что длина нити составляет 1/3 длины окружности, получим

.

4. Произведем вычисления:

.

.

Ответ: Е = 1 кВ / м, j = 188,3 В.

6 ПОСТОЯННЫЙ ТОК

6.1 Краткие теоретические сведения

Электрический ток – это любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. За направление тока условно принимается направление движения положительно заряженных частиц или направление, противоположное движению отрицательно заряженных частиц.

Сила тока – это скалярная физическая величина, характеризующая электрический ток и численно равная электрическому заряду, проходящему через поперечное сечение проводника за 1 с

; [ I ] = А.

Постоянный ток – ток, сила и направление которого не меняется с течением времени.