Проинтегрировав левую и правую части уравнения (3.10), получим

, (3.11)

где С ₁ – некоторая постоянная интегрирования, значение которой можно найти, используя второе начальное условие.

Так как в начальный момент времени координата тела х = х ₀, то подставляя значение t = 0 в выражение (3.11), получим:

.

Тогда закон движения примет вид:

. (3.12)

5. Перепишем уравнения (3.4), (3.8) и (3.12) с учетом данных условия задачи:

;

;

.

6. Построим графики зависимостей х = х (t), V_х = V_х (t) и а_х = а_х (t) для отрезка времени 0 ≤ t ≤ 5 с (рисунок 3.1):

Задача 2:

Тело массой m = 0,1 кг движется вдоль оси О х под действием силы F_x = – kх, где k = 0,1 Н/м. Начальные условия движения: х ₀ = 1 м, V _{0 х} = 1 м/с.

Решение:

1. Запишем дифференциальное уравнение движения тела (второй закон Ньютона):

. (3.13)

2. Найдем закон движения тела х = х (t):

Разделим обе его части уравнения (3.13) на m:

. (3.14)

Уравнение (3.14) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний тела, решением которого (используется готовое решение уравнения) является выражение

, где . (3.15)

3. Найдем закон изменения скорости V_х = V_х (t) и закон изменения ускорения а_х = а_х (t):

Учитывая определения скорости и ускорения и продифференцировав уравнение (3.15), получим уравнения V_х = V_х (t) и а_х = а_х (t):

. (3.16)

. (3.17)

Выражения (3.15), (3.16), (3.17) содержат в себе две константы (А и j), для нахождения которых воспользуемся заданными начальными условиями.

Так как в начальный момент времени координата тела х = х ₀ и проекция скорости тела V_x = V _{0 x}, то подставляя значение t = 0 в выражения (3.15) и (3.16), получим:

. (3.18)

Разделив почленно второе уравнение системы (3.18) на первое и, учитывая, что , найдём постоянную j:

. (3.19)

Подставляя выражение (3.19) в первое уравнение системы (3.18), найдём постоянную А:

.

Для упрощения дальнейших действий значения величины ω, а также постоянных А и j, вычислим отдельно:

;

;

.

4. Перепишем уравнения (3.15), (3.16) и (3.17) с учетом данных условия задачи и найденных значений ω, А и j:

;

;

.

5. Построим графики зависимостей х = х (t), V_х = V_х (t) и а_х = а_х (t) для отрезка времени 0 ≤ t ≤ 5 с (рисунок 3.2):

Задача 3:

Тело массой m = 0,1 кг движется вдоль оси Ох под действием силы F_x = – kV_x ², где k = 0,1 Н·с/м. Начальные условия движения: х ₀ = 1 м, V _{0 х} = 1 м/с.

Решение:

1. Запишем дифференциальное уравнение движения тела (второй закон Ньютона):

. (3.20)

2. Найдем закон изменения скорости V_х = V_х (t):