Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее

1. Равномерное приближение непрерывной функции тригоно­метрическими многочленами. В этом параграфе будет установлена замкнутость (а следовательно, и полнота) тригонометрической системы (8.10) в пространстве всех кусочно-непрерывных на сег­менте функций. Но прежде чем приступить к доказатель­ству замкнутости тригонометрической системы, установим важную теорему о равномерном приближении непрерывной функции, так называемыми тригонометрическими многочленами.

Будем называть тригонометрическим многочленом произвольную линейную комбинацию любого конечного числа эле­ментов тригонометрической системы (8.10), т. е. выражение вида

где n — любой номер, a и — произволь­ные постоянные вещественные числа.

Отметим два совершенно элементарных утверждения:

1°. Если — какой угодно алгебраический многочлен про­извольной степени п, то и — тригонометриче­ские многочлены.

2°. Если — тригонометрический многочлен, то каждое из выражений и также представляет собой тригонометрический многочлен.

Оба утверждения вытекают из того, что произведение двух (а поэтому и любого конечного числа) тригонометрических функций от аргумента приводится к линейной комбинации конечного чис­ла тригонометрических функций от аргументов типа (убедитесь в этом сами).

В теории тригонометрических рядов Фурье важную роль играет понятие периодической функции.

Определение. Функция называется периодиче­ской функцией с периодом Т, если для любого вещественного справедливо ра­венство

Это равенство обычно называют условием периодичности. К рассмотрению периодических функций приводит изучение раз­личных колебательных процессов.

Заметим, что все элементы тригонометрической системы (8.10) являются периодическими функциями с периодом .

Теорема 8.7 (теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на сегменте и удовлетворяет условию , то эту функцию можно равномерно на указанном сегменте приблизить тригонометрическими многочленами, т. е. для этой функции и для любого положительного числа найдется тригонометрический многочлен такой, что сразу для всех из сегмента справедливо неравенство

(8.27)

Доказательство. Для удобства разобьем доказательство на два этапа.

1) Сначала дополнительно предположим, что функция является четной, т. е. для любого из сегмента удов­летворяет условию .

В силу теоремы о непрерывности сложной функции , где (см. § 1 гл. 4 ч. 1) функция явля­ется непрерывной функцией аргумента на сегменте . Следовательно, по теореме Вейерштрасса для алгебраических многочленов (см. теорему 2.18) для любого найдется алгеб­раический многочлен такой, что сра­зу для всех из сегмента .

Положив , мы получим

(8.28)

сразу для всех из сегмента .

Так как обе функции и являются четными, то неравенство (8.28) справедливо и для всех из сегмента . Таким образом, неравенство (8.28) справедливо для всех из сегмента , и поскольку (в силу указанного выше утверждения 1°) является тригонометрическим мно­гочленом, то для четной функции теорема доказана.

Заметим теперь, что функцию , удовлетворяющую усло­виям доказываемой теоремы, можно периодически с периодом продолжить на всю бесконечную прямую , так что продолженная функция будет непрерывна в каждой точке бес­конечной прямой. Кроме того, если функция продолжена та­ким образом, то (поскольку также является периодиче­ской функцией периода ) для четной функции неравенство (8.28) справедливо всюду на прямой .

2) Пусть теперь — произвольная функция, удовлетворяю­щая условиям доказываемой теоремы. Эту функцию мы перио­дически с периодом продолжим на всю прямую и составим с помощью этой функции следующие четные функции:

(8.29)

(8.30)

По доказанному в 1) для любого найдутся тригонометриче­ские многочлены и такие, что всюду на числовой прямой

и поэтому

· Складывая эти неравенства и учитывая, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, а также принимая во внимание равенства (8.29) и (8.30), получим, что всюду на число­вой прямой справедливо неравенство

(8.31)

в котором через обозначен тригонометрический многочлен, равный .

В проведенных нами рассуждениях вместо функции мож­но взять функцию . В полной аналогии с (8.31) полу­чим, что для функции найдется тригонометрический мно­гочлен такой, что всюду на числовой прямой

(8.32)

Заменяя в (8.32) на и обозначая через тригоно­метрический многочлен вида , получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство

(8.33)

Наконец, складывая неравенства (8.31) и (8.33) и обозначая че­рез тригонометрический многочлен вида получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство (8.27). Теорема доказана.

Замечание. Каждое из условий 1) непрерывности на сегменте и 2) равенства значений и явля­ется необходимым условием для равномерного на сегменте приближения функции тригонометрическими многочленами.

Иными словами, теорему Вейерштрасса можно переформули­ровать следующим образом:

Теорема 8.7*. Для того чтобы функцию можно было равномерно на сегменте приблизить тригонометрическими многочленами, необходимо и достаточно, чтобы функция была непрерывной на сегменте и удовлетворяла условию .

Достаточность составляет содержание теоремы 8.7.

Остановимся на доказательстве необходимости. Пусть сущест­вует последовательность тригонометрических многочленов , равномерно на сегменте сходящаяся к функции . Так как каждая функция непрерывна на сегменте , то по следствию 2 из теоремы 2.7 и функция непрерывна на сег­менте . Для любого найдется многочлен та­кой, что для всех из сегмента . Следовательно,

Из последних двух неравенств и из вытекающего из условия пе­риодичности (с периодом ) равенства заклю­чаем, что , откуда (в силу про­извольности ).

2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы. Опираясь на теорему Вейерштрасса, докажем следующую основ­ную теорему.

Теорема 8.8. Тригонометрическая система (8.10) является замкнутой, т. е. для любой кусочно-непрерывной на сегменте функции и любого положительного числа найдется тригонометрический многочлен такой, что

(8.34)

Доказательство. Прежде всего заметим, что для любой кусочно-непрерывной на сегменте функции и для любого найдется непрерывная на этом сегменте функция , удовлетворяющая условию и такая, что

(8.35)

В самом деле, достаточно взять функцию совпадающей с всюду, кроме достаточно малых окрестностей точек разрыва функции и точки , а в указанных окрестностях взять линейной функцией так, чтобы являлась непрерывной на всем сегменте и удовлетворяла условию .

Так как кусочно-непрерывная функция и срезающая ее линейная функция являются ограниченными, то, выбирая указанные окрестности точек разрыва и точки достаточно малы­ми, мы обеспечим выполнение неравенства (8.35).

По теореме Вейерштрасса 8.7 для функции найдется тригонометрический многочлен такой, что для всех из сег­мента справедливо неравенство

(8.36)

Из (8.36) заключаем, что

(8.37)

Из (8.35) и (8.37) и из неравенства треугольника для норм вытекает неравенство (8. 34). Теорема доказана.

Замечание 1. Из теорем 8.8 и 8.5 сразу же вытекает, что тригонометрическая система (8.10) является полной. Отсюда в свою очередь вытекает, что система является полной на множестве всех функций, кусочно-непрерывных на сегменте (или соответственно на сегменте ). В самом деле, всякая кусочно-непрерывная на сегменте функция , ортогональная на этом сегменте всем элементам системы после нечетного продолжения на сегмент оказывается ортогональной на сегменте всем элементам тригонометрической системы (8.10). В силу полноты системы (8.10) эта функция равна нулю на , а следова­тельно, и на . Совершенно аналогично доказывается, что система является полной на множестве всех функций, кусочно-непрерывных на сегменте (или соответственно на сегменте ).

Замечание 2. Можно показать, что среди ортонормированных систем, указанных в § 1, системы, образованные с по­мощью полиномов Лежандра, полиномов Чебышева и функций Хаара, являются замкнутыми, а система Радемахера замкну­той не является.

3. Следствия замкнутости тригонометрической системы.

Следствие 1. Для любой кусочно-непрерывной на сегмен­те функции справедливо равенство Парсе­валя

(8.38)

(вытекает из теоремы 8.3).

Следствие 2. Тригонометрический ряд Фурье любой кусочно-непрерывной на сегменте функции сходится к этой функции на указанном сегменте в среднем (вытекает из теоремы 8.4 и замечания 2 к ней).

Следствие 3. Тригонометрический ряд Фурье любой кусочно-непрерывной на сегменте функции можно по­членно интегрировать на этом сегменте (вытекает из предыдуще­го следствия и из теоремы 2.11).

Следствие 4. Если две кусочно-непрерывные на сегменте функции и имеют одинаковые тригонометри­ческие ряды Фурье, то эти функции совпадают всюду на этом сег­менте (вытекает из теоремы 8.6).

Следствие 5. Если тригонометрический ряд Фурье кусочно-непрерывной на сегменте функции сходится равно­мерно на некотором содержащемся в сегменте , то он сходится на сегменте именно к функции .

Доказательство. Пусть — та функция, к которой сходится равномерно на тригонометрический ряд Фурье функции . Докажем, что всюду на сегменте . Так как из равномерной сходимости на сегменте выте­кает сходимость в среднем на этом сегменте (см. п. 3 § 4 гл. 2), то тригонометрический ряд Фурье функции сходится к функ­ции на сегменте в среднем. Это означает, что для произвольного найдется номер , начиная с которого частичная сумма тригонометрического ряда Фурье удовле­творяет неравенству

(8.39)

С другой стороны, в силу следствия 2 последовательность сходится к в среднем на всем сегменте , а следовательно, и на сегменте , т. е. для фиксированного нами про­извольного найдется номер , начиная с которого

(8.40)

Из (8.39) и (8.40) и из неравенства треугольника

вытекает, что . Из этого неравенства и из про­извольности следует, что , а отсюда на ос­новании первого свойства нормы заключаем, что — — нулевой элемент пространства кусочно-непрерывных на функций, т. е. функция, тождественно равная нулю на сегменте . Следствие 5 доказано.

Замечание 1. Конечно, вследствие 5 сегмент мо­жет совпадать со всем сегментом , т. е. из равномерной сходимости ряда Фурье функции на всем сегменте следует, что этот ряд сходится на указанном сегменте именно к пункции .

Замечание 2. Совершенно аналогичные следствия бу­дут справедливы и для ряда Фурье по любой другой замкну­той ортонормированной системе в пространстве кусочно-непрерывных на произвольном сегменте функций со скаляр­ным произведением (8.1) и нормой (8.6). Примерами таких си­стем могут служить указанные в § 1 ортонормированные системы, связанные с полиномами Лежандра и Чебышева, а также система Хаара.