![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами. В этом параграфе будет установлена замкнутость (а следовательно, и полнота) тригонометрической системы (8.10) в пространстве всех кусочно-непрерывных на сегменте функций. Но прежде чем приступить к доказательству замкнутости тригонометрической системы, установим важную теорему о равномерном приближении непрерывной функции, так называемыми тригонометрическими многочленами.
Будем называть тригонометрическим многочленом произвольную линейную комбинацию любого конечного числа элементов тригонометрической системы (8.10), т. е. выражение вида
где n — любой номер, a и
— произвольные постоянные вещественные числа.
Отметим два совершенно элементарных утверждения:
1°. Если — какой угодно алгебраический многочлен произвольной степени п, то
и
— тригонометрические многочлены.
2°. Если — тригонометрический многочлен, то каждое из выражений
и
также представляет собой тригонометрический многочлен.
Оба утверждения вытекают из того, что произведение двух (а поэтому и любого конечного числа) тригонометрических функций от аргумента приводится к линейной комбинации конечного числа тригонометрических функций от аргументов типа
(убедитесь в этом сами).
В теории тригонометрических рядов Фурье важную роль играет понятие периодической функции.
Определение. Функция называется периодической функцией с периодом Т, если для любого вещественного
справедливо равенство
Это равенство обычно называют условием периодичности. К рассмотрению периодических функций приводит изучение различных колебательных процессов.
Заметим, что все элементы тригонометрической системы (8.10) являются периодическими функциями с периодом .
Теорема 8.7 (теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на сегменте
и удовлетворяет условию
, то эту функцию можно равномерно на указанном сегменте приблизить тригонометрическими многочленами, т. е. для этой функции
и для любого положительного числа
найдется тригонометрический многочлен
такой, что сразу для всех
из сегмента
справедливо неравенство
(8.27)
Доказательство. Для удобства разобьем доказательство на два этапа.
1) Сначала дополнительно предположим, что функция является четной, т. е. для любого
из сегмента
удовлетворяет условию
.
В силу теоремы о непрерывности сложной функции , где
(см. § 1 гл. 4 ч. 1) функция
является непрерывной функцией аргумента
на сегменте
. Следовательно, по теореме Вейерштрасса для алгебраических многочленов (см. теорему 2.18) для любого
найдется алгебраический многочлен
такой, что
сразу для всех
из сегмента
.
Положив , мы получим
(8.28)
сразу для всех из сегмента
.
Так как обе функции и
являются четными, то неравенство (8.28) справедливо и для всех
из сегмента
. Таким образом, неравенство (8.28) справедливо для всех
из сегмента
, и поскольку (в силу указанного выше утверждения 1°)
является тригонометрическим многочленом, то для четной функции
теорема доказана.
Заметим теперь, что функцию , удовлетворяющую условиям доказываемой теоремы, можно периодически с периодом
продолжить на всю бесконечную прямую
, так что продолженная функция будет непрерывна в каждой точке
бесконечной прямой. Кроме того, если функция
продолжена таким образом, то (поскольку
также является периодической функцией периода
) для четной функции
неравенство (8.28) справедливо всюду на прямой
.
2) Пусть теперь — произвольная функция, удовлетворяющая условиям доказываемой теоремы. Эту функцию мы периодически с периодом
продолжим на всю прямую и составим с помощью этой функции следующие четные функции:
(8.29)
(8.30)
По доказанному в 1) для любого найдутся тригонометрические многочлены
и
такие, что всюду на числовой прямой
и поэтому
· Складывая эти неравенства и учитывая, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, а также принимая во внимание равенства (8.29) и (8.30), получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство
(8.31)
в котором через обозначен тригонометрический многочлен, равный
.
В проведенных нами рассуждениях вместо функции можно взять функцию
. В полной аналогии с (8.31) получим, что для функции
найдется тригонометрический многочлен
такой, что всюду на числовой прямой
(8.32)
Заменяя в (8.32) на
и обозначая через
тригонометрический многочлен вида
, получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство
(8.33)
Наконец, складывая неравенства (8.31) и (8.33) и обозначая через тригонометрический многочлен вида
получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство (8.27). Теорема доказана.
Замечание. Каждое из условий 1) непрерывности на сегменте
и 2) равенства значений
и
является необходимым условием для равномерного на сегменте
приближения функции
тригонометрическими многочленами.
Иными словами, теорему Вейерштрасса можно переформулировать следующим образом:
Теорема 8.7*. Для того чтобы функцию можно было равномерно на сегменте
приблизить тригонометрическими многочленами, необходимо и достаточно, чтобы функция
была непрерывной на сегменте
и удовлетворяла условию
.
Достаточность составляет содержание теоремы 8.7.
Остановимся на доказательстве необходимости. Пусть существует последовательность тригонометрических многочленов , равномерно на сегменте
сходящаяся к функции
. Так как каждая функция
непрерывна на сегменте
, то по следствию 2 из теоремы 2.7 и функция
непрерывна на сегменте
. Для любого
найдется многочлен
такой, что
для всех
из сегмента
. Следовательно,
Из последних двух неравенств и из вытекающего из условия периодичности (с периодом ) равенства
заключаем, что
, откуда
(в силу произвольности
).
2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы. Опираясь на теорему Вейерштрасса, докажем следующую основную теорему.
Теорема 8.8. Тригонометрическая система (8.10) является замкнутой, т. е. для любой кусочно-непрерывной на сегменте функции
и любого положительного числа
найдется тригонометрический многочлен
такой, что
(8.34)
Доказательство. Прежде всего заметим, что для любой кусочно-непрерывной на сегменте функции
и для любого
найдется непрерывная на этом сегменте функция
, удовлетворяющая условию
и такая, что
(8.35)
В самом деле, достаточно взять функцию совпадающей с
всюду, кроме достаточно малых окрестностей точек разрыва функции
и точки
, а в указанных окрестностях взять
линейной функцией так, чтобы
являлась непрерывной на всем сегменте
и удовлетворяла условию
.
Так как кусочно-непрерывная функция и срезающая ее линейная функция являются ограниченными, то, выбирая указанные окрестности точек разрыва и точки
достаточно малыми, мы обеспечим выполнение неравенства (8.35).
По теореме Вейерштрасса 8.7 для функции найдется тригонометрический многочлен
такой, что для всех
из сегмента
справедливо неравенство
(8.36)
Из (8.36) заключаем, что
(8.37)
Из (8.35) и (8.37) и из неравенства треугольника для норм вытекает неравенство (8. 34). Теорема доказана.
Замечание 1. Из теорем 8.8 и 8.5 сразу же вытекает, что тригонометрическая система (8.10) является полной. Отсюда в свою очередь вытекает, что система
является полной на множестве всех функций, кусочно-непрерывных на сегменте
(или соответственно на сегменте
). В самом деле, всякая кусочно-непрерывная на сегменте
функция
, ортогональная на этом сегменте всем элементам системы
после нечетного продолжения на сегмент
оказывается ортогональной на сегменте
всем элементам тригонометрической системы (8.10). В силу полноты системы (8.10) эта функция равна нулю на
, а следовательно, и на
. Совершенно аналогично доказывается, что система
является полной на множестве всех функций, кусочно-непрерывных на сегменте
(или соответственно на сегменте
).
Замечание 2. Можно показать, что среди ортонормированных систем, указанных в § 1, системы, образованные с помощью полиномов Лежандра, полиномов Чебышева и функций Хаара, являются замкнутыми, а система Радемахера замкнутой не является.
3. Следствия замкнутости тригонометрической системы.
Следствие 1. Для любой кусочно-непрерывной на сегменте функции
справедливо равенство Парсеваля
(8.38)
(вытекает из теоремы 8.3).
Следствие 2. Тригонометрический ряд Фурье любой кусочно-непрерывной на сегменте функции
сходится к этой функции на указанном сегменте в среднем (вытекает из теоремы 8.4 и замечания 2 к ней).
Следствие 3. Тригонометрический ряд Фурье любой кусочно-непрерывной на сегменте функции
можно почленно интегрировать на этом сегменте (вытекает из предыдущего следствия и из теоремы 2.11).
Следствие 4. Если две кусочно-непрерывные на сегменте функции
и
имеют одинаковые тригонометрические ряды Фурье, то эти функции совпадают всюду на этом сегменте (вытекает из теоремы 8.6).
Следствие 5. Если тригонометрический ряд Фурье кусочно-непрерывной на сегменте функции
сходится равномерно на некотором содержащемся в
сегменте
, то он сходится на сегменте
именно к функции
.
Доказательство. Пусть — та функция, к которой сходится равномерно на
тригонометрический ряд Фурье функции
. Докажем, что
всюду на сегменте
. Так как из равномерной сходимости на сегменте
вытекает сходимость в среднем на этом сегменте (см. п. 3 § 4 гл. 2), то тригонометрический ряд Фурье функции
сходится к функции
на сегменте
в среднем. Это означает, что для произвольного
найдется номер
, начиная с которого частичная сумма тригонометрического ряда Фурье
удовлетворяет неравенству
(8.39)
С другой стороны, в силу следствия 2 последовательность сходится к
в среднем на всем сегменте
, а следовательно, и на сегменте
, т. е. для фиксированного нами произвольного
найдется номер
, начиная с которого
(8.40)
Из (8.39) и (8.40) и из неравенства треугольника
вытекает, что . Из этого неравенства и из произвольности
следует, что
, а отсюда на основании первого свойства нормы заключаем, что
—
— нулевой элемент пространства кусочно-непрерывных на
функций, т. е. функция, тождественно равная нулю на сегменте
. Следствие 5 доказано.
Замечание 1. Конечно, вследствие 5 сегмент может совпадать со всем сегментом
, т. е. из равномерной сходимости ряда Фурье функции
на всем сегменте
следует, что этот ряд сходится на указанном сегменте именно к пункции
.
Замечание 2. Совершенно аналогичные следствия будут справедливы и для ряда Фурье по любой другой замкнутой ортонормированной системе в пространстве кусочно-непрерывных на произвольном сегменте функций со скалярным произведением (8.1) и нормой (8.6). Примерами таких систем могут служить указанные в § 1 ортонормированные системы, связанные с полиномами Лежандра и Чебышева, а также система Хаара.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 756 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!