![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Глава 8
РЯДЫ ФУРЬЕ
Изучаемая в настоящей главе проблема разложения функции в ряд Фурье является обобщением и развитием идеи разложения вектора по базису.
Из линейной алгебры известно, что если в линейном пространстве конечной размерности выбрать некоторый базис, то любой вектор этого пространства может быть разложен по базису, т. е. представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Гораздо более сложными являются вопросы о выборе базиса и о разложении по базису для случая бесконечномерного пространства. В настоящей главе эти вопросы изучаются для случая евклидовых бесконечномерных пространств и для базисов специального типа (ортонормированных базисов).
Особенно подробно изучается базис, образованный в пространстве всех кусочно непрерывных на некотором сегменте функций так называемой тригонометрической системой.
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЩИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
1. Ортонормированные системы. Будем рассматривать произвольное евклидово пространство бесконечной размерности. Напомним, что линейное пространство R называется евклидовым, если выполнены два условия:
1) известно правило, посредством которого любым двум элементам и
пространства R ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом
;
2) указанное правило удовлетворяет следующим четырем аксиомам:
1°. (переместительное свойство);
2°. (распределительное свойство);
3°. для любого вещественного
;
4°. , если
— ненулевой элемент;
если
— нулевой элемент.
Напомним, далее, что линейное (и, в частности, евклидово) пространство называется бесконечномерным, если в этом пространстве найдется любое наперед взятое число линейно независимых элементов.
Приведем классический пример евклидова пространства бесконечной размерности.
Напомним, что функция называется кусочно-непрерывной на сегменте
, если она непрерывна всюду на этом сегменте, за исключением конечного числа точек, в каждой из которых она имеет разрыв первого рода.
Для линейного пространства всех кусочно-непрерывных на сегменте функций естественно ввести скалярное произведение любых двух функций
и
, определив его равенством
(8.1)
Легко проверяется, что при таком определении справедливы первые три аксиомы скалярного произведения. Однако для того, чтобы оказалась справедливой и четвертая аксиома, приходится принять дополнительную договоренность о том, чтобы значение кусочно-непрерывной функции в каждой ее точке разрыва
равнялось полусумме правого и левого ее пределов в этой точке:
(8.2)
В самом деле, во-первых, всегда Далее, заметим, что так как
кусочно-непрерывна на
, то весь сегмент
распадается на конечное число сегментов
, и а каждом из которых функция
непрерывна при условии, что в качестве значений
на концах соответствующего сегмента
берутся
и
Из равенства
вытекает, что для каждого сегмента
справедливо равенство
Из этого равенства и из непрерывности на сегменте
вытекает, что на этом сегменте
. В частности,
и
равны нулю. Так как эти рассуждения справедливы для любого сегмента
, т. е. для всех
то правый и левый пределы в любой точке
равны нулю, а отсюда в силу соотношения (8.2) и само значение
в любой точке
равно. Итак, функция
равна нулю во всех точках сегмента
, т. е. является нулевым элементом линейного пространства всех кусочно-непрерывных на сегменте
функций.
Тем самым мы доказали, что пространство всех кусочно непрерывных на сегменте функций с условием (8.2) в каждой точке разрыва и со скалярным произведением, определяемым соотношением (8.1), является евклидовым пространством.
Это евклидово пространство мы в дальнейшем будем обозначать символом
Напомним теперь два общих свойства любого евклидова пространства, которыми, естественно, будет обладать и пространство :
1) во всяком евклидовом пространстве для любых двух элементов и
справедливо неравенство
(8.3)
называемое неравенством Коши — Буняковского;
2) во всяком евклидовом пространстве для любого элемента этого пространства можно ввести понятие нормы этого элемента, определив ее как число, обозначаемое символом
и определяемое равенством
(8.4)
так что будут справедливы следующие три свойства:
1°. причем
= 0 лишь тогда, когда
— нулевой элемент;
2°. для любого элемента
и любого вещественного
;
3°. (8.5)
для любых двух элементов и
(это неравенство называется неравенством треугольника).
В самом деле, справедливость свойства 1° сразу же вытекает из (8.4) и из аксиомы 4° скалярного произведения.
Для обоснования свойства 2° заметим, что в силу (8.4) и аксиом скалярного произведения
Наконец, справедливость свойства 3° вытекает из (8.4), из аксиом скалярного произведения и из неравенства Коши—Буняковского (8.3). Действительно,
В частности, во введенном выше евклидовом пространстве всех кусочно-непрерывных на сегменте
функций норма (8.4) любого элемента
определяется равенством
(8.6)
а неравенства Коши-Буняковского (8.3) и треугольника (8.5) принимают вид
(8.7)
(8.8)
Введем теперь в произвольном бесконечномерном евклидовом пространстве R понятия ортогональных элементов и ортонормированной системы элементов.
Определение 1. Два элемента и
евклидова пространства называются ортогональными, если скалярное произведение
этих элементов равно нулю.
Рассмотрим в произвольном бесконечномерном евклидовом пространстве R некоторую последовательность элементов.
(8.9)
Определение 2. Последовательность (8.9) называется ортонормированной системой, если входящие в эту последовательность элементы попарно ортогональны и имеют норму, равную единице.
Классическим примером ортонормированной системы в пространстве всех кусочно-непрерывных на сегменте
функций является так называемая тригонометрическая система
(8.10)
Читатель легко проверит, что все функции (8.10) попарно ортогональны (в смысле скалярного произведения (8.1), взятого при ) и что норма каждой из этих функций (определяемая равенством (8.6) при
) равна единице.
В математике и ее приложениях часто встречаются различные ортонормированные (на соответствующих множествах) системы функций. Приведем некоторые примеры таких систем.
Примеры. 1°. Многочлены, определяемые равенством
(8.11)
принято называть полиномами Лежандра.
Нетрудно убедиться, что образованные с помощью многочленов (8.11) функции
образуют ортонормированную (на сегменте [—1, +1]) систему функций.
2°. Многочлены, определяемые равенствами при
называются полиномами Чебышева. Среди всех многочленов n -й степени с коэффициентом при
, равным единице, полином Чебышева
имеет наименьший на сегменте
максимум модуля. Можно доказать, что полученные с помощью полиномов Чебышева функции
образуют ортонормированную на сегменте [—1, +1] систему.
3°. В теории вероятностей часто применяется система Радемахера
Легко проверяется, что эта система ортонормированна на сегменте
4°. В ряде исследований по теории функций находит применение система Хаара, являющаяся ортонормированной на сегменте . Элементы этой системы определяются для всех
и для всех
, принимающих значения 1, 2, 4,..., 2". Они имеют вид
Каждая функция Хаара представляет собой ступеньку такого же вида, как функция нa сегменте
. Для каждого фиксированного номера
при увеличении значения k эта ступенька сдвигается вправо. Всюду вне соответствующей ступеньки каждая функция Хаара тождественно равна нулю.
2. Понятие об общем ряде Фурье. Пусть в произвольном бесконечномерном евклидовом пространстве R задана произвольная ортонормированная система элементов . Рассмотрим какой угодно элемент f пространства R.
Определение 1. Назовем рядом Фурье элемента f по ортонормированной системе ряд вида
(8.12)
в котором через обозначены постоянные числа, называемые к о э ф ф и ц - и е н т а м и Ф у р ь е элемента f и определяемые равенствами
Естественно назвать конечную сумму
(8.13)
n -й ч а с т и ч н о й с у м м о й ряда Фурье (8.12).
Рассмотрим наряду с n -й частичной суммой (8.13) произвольную линейную комбинацию первых n элементов ортонормированной системы
(8.14)
с какими угодно постоянными числами
Выясним, что отличает n -ю частичную сумму ряда Фурье (8.13) от всех других сумм (8.14).
Договоримся называть величину о т к л о н е н и е м f от g (по норме данного евклидова пространства).
Имеет место следующая основная теорема.
Т е о р е м а 8.1. Среди всех сумм вида (8.14) наименьшее отклонение от элемента f no норме данного евклидова пространства имеет п-я частичная сумма (8.13) ряда Фурье элемента f.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая ортонормированность системы и пользуясь аксиомами скалярного произведения, можем записать:
Итак,
(8.15)
В левой части (8.15) стоит квадрат отклонения суммы (8.14) от элемента f (по норме данного евклидова пространства). Из вида правой части (8.15),следует, что указанный квадрат отклонения является наименьшим при (так как при этом в правой части (8.15) первая сумма обращается в нуль, а остальные слагаемые от
не зависят). Теорема доказана.
С л е д с т в и е 1. Для произвольного элемента f данного евклидова пространства и любой ортонормированной системы при произвольном выборе постоянных
для любого номера п справедливо неравенство
(8.16)
Неравенство (8.16) является непосредственным следствием тождества (8.15).
С л е д с т в и е 2. Для произвольного элемента f данного евклидова пространства, любой ортонормированной системы и любого номера п справедливо равенство
(8.17)
часто называемое т о ж д е с т в о м Б е с с е л я.
Для доказательства равенства (8.17) достаточно положить в (8.15) .
Теорема 8.2. Для любого элемента f данного евклидова пространства и любой ортонормированной системы справедливо следующее неравенство:
(8.18)
называемое неравенством Бесселя.
Доказательство. Из неотрицательности левой части (8.17) следует, что для любого номера n
(8.19)
Но это означает, что ряд из неотрицательных членов, стоящий в левой части (8.18), обладает ограниченной последовательностью частичных сумм и поэтому сходится. Переходя в неравенстве (8.19) к пределу при (см. теорему 3.13 ч. 1), получим неравенство (8.18). Теорема доказана.
В качестве примера обратимся к пространству всех кусочно-непрерывных на сегменте
функций и в этом пространстве к ряду Фурье по тригонометрической системе (8.10) (этот ряд принято называть тригонометрическим рядом Фурье). Для любой кусочно-непрерывной на сегменте
функции
указанный ряд Фурье имеет вид
(8.20)
где коэффициенты Фурье и
определяются формулами
Неравенство Бесселя, справедливое для любой кусочно-непрерывной на сегменте функции
, имеет вид
(8.21)
Отклонение от
по норме в этом случае равно так называемому среднему квадратичному отклонению
(8.22)
Отметим, что в теории тригонометрических рядов Фурье принята несколько иная форма записи как самого ряда Фурье (8.20), так и неравенства Бесселя (8.21), а именно: тригонометрический ряд Фурье (8.20) обычно записывают в виде
(8.20')
где
(8.23)
При такой форме записи неравенство Бесселя (8.21) принимает вид
(8.21')
Замечание. Из неравенства Бесселя (8.21') вытекает, что для любой кусочно-непрерывной на сегменте функции
величины
и
(называемые тригонометрическими коэффициентами Фурье функции
) стремятся к нулю при
(в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части (8.21')).
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 805 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!