Ортонормированные системы и общие ряды Фурье

Глава 8

РЯДЫ ФУРЬЕ

Изучаемая в настоящей главе проблема разложения функции в ряд Фурье является обобщением и развитием идеи разложения вектора по базису.

Из линейной алгебры известно, что если в линейном простран­стве конечной размерности выбрать некоторый базис, то любой вектор этого пространства может быть разложен по базису, т. е. представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Го­раздо более сложными являются вопросы о выборе базиса и о разложении по базису для случая бесконечномерного простран­ства. В настоящей главе эти вопросы изучаются для случая евкли­довых бесконечномерных пространств и для базисов специального типа (ортонормированных базисов).

Особенно подробно изучается базис, образованный в простран­стве всех кусочно непрерывных на некотором сегменте функций так называемой тригонометрической системой.

ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЩИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

1. Ортонормированные системы. Будем рассматривать произ­вольное евклидово пространство бесконечной размерности. На­помним, что линейное пространство R называется евклидовым, если выполнены два условия:

1) известно правило, посредством которого любым двум эле­ментам и пространства R ставится в соответствие число, назы­ваемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом ;

2) указанное правило удовлетворяет следующим четырем ак­сиомам:

1°. (переместительное свойство);

2°. (распределительное свойство);

3°. для любого вещественного ;

4°. , если — ненулевой элемент;

если — нулевой элемент.

Напомним, далее, что линейное (и, в частности, евклидово) пространство называется бесконечномерным, если в этом пространстве найдется любое наперед взятое число линейно неза­висимых элементов.

Приведем классический пример евклидова пространства беско­нечной размерности.

Напомним, что функция называется кусочно-непрерывной на сегменте , если она непрерывна всюду на этом сегменте, за исключением конечного числа точек, в каждой из ко­торых она имеет разрыв первого рода.

Для линейного пространства всех кусочно-непрерывных на сег­менте функций естественно ввести скалярное произведение любых двух функций и , определив его равенством

(8.1)

Легко проверяется, что при таком определении справедливы первые три аксиомы скалярного произведения. Однако для того, чтобы оказалась справедливой и четвертая аксиома, приходится принять дополнительную договоренность о том, чтобы значение кусочно-непрерывной функции в каждой ее точке разрыва равнялось полусумме правого и левого ее пределов в этой точке:

(8.2)

В самом деле, во-первых, всегда Да­лее, заметим, что так как кусочно-непрерывна на , то весь сегмент распадается на конечное число сегментов , и а каждом из которых функция непрерывна при условии, что в качестве значений на концах соответствующе­го сегмента берутся и Из равенства вытекает, что для каждого сегмента справедливо равенство

Из этого равенства и из непрерывности на сегменте вытекает, что на этом сегменте . В частности, и равны нулю. Так как эти рассуждения справедли­вы для любого сегмента , т. е. для всех то правый и левый пределы в любой точке равны нулю, а отсюда в силу соотношения (8.2) и само значение в любой точке равно. Итак, функция равна нулю во всех точках сегмента , т. е. является нулевым элементом линейного пространства всех кусочно-непрерывных на сегменте функций.

Тем самым мы доказали, что пространство всех кусочно непре­рывных на сегменте функций с условием (8.2) в каждой точке разрыва и со скалярным произведением, определяемым со­отношением (8.1), является евклидовым пространством.

Это евклидово пространство мы в дальнейшем будем обозна­чать символом

Напомним теперь два общих свойства любого евклидова про­странства, которыми, естественно, будет обладать и простран­ство :

1) во всяком евклидовом пространстве для любых двух элемен­тов и справедливо неравенство

(8.3)

называемое неравенством Коши — Буняковского;

2) во всяком евклидовом пространстве для любого элемента этого пространства можно ввести понятие нормы этого эле­мента, определив ее как число, обозначаемое символом и оп­ределяемое равенством

(8.4)

так что будут справедливы следующие три свойства:

1°. причем = 0 лишь тогда, когда — нулевой элемент;

2°. для любого элемента и любого веществен­ного ;

3°. (8.5)

для любых двух элементов и (это неравенство называется не­равенством треугольника).

В самом деле, справедливость свойства 1° сразу же вытекает из (8.4) и из аксиомы 4° скалярного произведения.

Для обоснования свойства 2° заметим, что в силу (8.4) и аксиом скалярного произведения

Наконец, справедливость свойства 3° вытекает из (8.4), из ак­сиом скалярного произведения и из неравенства Коши—Буняковского (8.3). Действительно,

В частности, во введенном выше евклидовом пространстве всех кусочно-непрерывных на сегменте функций норма (8.4) любого элемента определяется равенством

(8.6)

а неравенства Коши-Буняковского (8.3) и треугольника (8.5) принимают вид

(8.7)

(8.8)

Введем теперь в произвольном бесконечномерном евклидовом пространстве R понятия ортогональных элементов и ортонормированной системы элементов.

Определение 1. Два элемента и евклидова простран­ства называются ортогональными, если скалярное произве­дение этих элементов равно нулю.

Рассмотрим в произвольном бесконечномерном евклидовом пространстве R некоторую последовательность элементов.

(8.9)

Определение 2. Последовательность (8.9) называется ортонормированной системой, если входящие в эту после­довательность элементы попарно ортогональны и имеют норму, равную единице.

Классическим примером ортонормированной системы в прост­ранстве всех кусочно-непрерывных на сегменте функ­ций является так называемая тригонометрическая сис­тема

(8.10)

Читатель легко проверит, что все функции (8.10) попарно ор­тогональны (в смысле скалярного произведения (8.1), взятого при ) и что норма каждой из этих функций (опреде­ляемая равенством (8.6) при ) равна единице.

В математике и ее приложениях часто встречаются различные ортонормированные (на соответствующих множествах) системы функций. Приведем некоторые примеры таких систем.

Примеры. 1°. Многочлены, определяемые равенством

(8.11)

принято называть полиномами Лежандра.

Нетрудно убедиться, что образованные с помощью много­членов (8.11) функции

образуют ортонормированную (на сегменте [—1, +1]) систему функций.

2°. Многочлены, определяемые равенствами при называются поли­номами Чебышева. Среди всех многочленов n -й степени с коэффициентом при , равным единице, полином Чебышева имеет наименьший на сегменте максимум мо­дуля. Можно доказать, что полученные с помощью полиномов Чебышева функции

образуют ортонормированную на сегменте [—1, +1] систему.

3°. В теории вероятностей часто применяется система Радемахера

Легко проверяется, что эта система ортонормированна на сег­менте

4°. В ряде исследований по теории функций находит приме­нение система Хаара, являющаяся ортонормированной на сегменте . Элементы этой системы определяются для всех и для всех , принимающих значения 1, 2, 4,..., 2". Они имеют вид

Каждая функция Хаара представляет собой ступеньку такого же вида, как функция нa сегменте . Для каждого фиксированного номера при увеличении значения k эта ступенька сдвигается вправо. Всюду вне соот­ветствующей ступеньки каждая функция Хаара тождественно равна нулю.

2. Понятие об общем ряде Фурье. Пусть в произвольном беско­нечномерном евклидовом пространстве R задана произвольная ортонормированная система элементов . Рассмотрим какой угодно элемент f пространства R.

Определение 1. Назовем рядом Фурье элемента f по ортонормированной системе ряд вида

(8.12)

в котором через обозначены постоянные числа, называемые к о э ф ф и ц - и е н т а м и Ф у р ь е элемента f и определяемые равен­ствами

Естественно назвать конечную сумму

(8.13)

n -й ч а с т и ч н о й с у м м о й ряда Фурье (8.12).

Рассмотрим наряду с n -й частичной суммой (8.13) произволь­ную линейную комбинацию первых n элементов ортонормирован­ной системы

(8.14)

с какими угодно постоянными числами

Выясним, что отличает n -ю частичную сумму ряда Фурье (8.13) от всех других сумм (8.14).

Договоримся называть величину о т к л о н е н и е м f от g (по норме данного евклидова пространства).

Имеет место следующая основная теорема.

Т е о р е м а 8.1. Среди всех сумм вида (8.14) наименьшее от­клонение от элемента f no норме данного евклидова пространства имеет п-я частичная сумма (8.13) ряда Фурье элемента f.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая ортонормированность систе­мы и пользуясь аксиомами скалярного произведения, можем записать:

Итак,

(8.15)

В левой части (8.15) стоит квадрат отклонения суммы (8.14) от элемента f (по норме данного евклидова пространства). Из вида правой части (8.15),следует, что указанный квадрат отклоне­ния является наименьшим при (так как при этом в правой части (8.15) первая сумма обращается в нуль, а остальные сла­гаемые от не зависят). Теорема доказана.

С л е д с т в и е 1. Для произвольного элемента f данного евкли­дова пространства и любой ортонормированной системы при произвольном выборе постоянных для любого номера п спра­ведливо неравенство

(8.16)

Неравенство (8.16) является непосредственным следствием тождества (8.15).

С л е д с т в и е 2. Для произвольного элемента f данного евкли­дова пространства, любой ортонормированной системы и лю­бого номера п справедливо равенство

(8.17)

часто называемое т о ж д е с т в о м Б е с с е л я.

Для доказательства равенства (8.17) достаточно положить в (8.15) .

Теорема 8.2. Для любого элемента f данного евклидова про­странства и любой ортонормированной системы справедливо следующее неравенство:

(8.18)

называемое неравенством Бесселя.

Доказательство. Из неотрицательности левой части (8.17) следует, что для любого номера n

(8.19)

Но это означает, что ряд из неотрицательных членов, стоящий в левой части (8.18), обладает ограниченной последовательностью частичных сумм и поэтому сходится. Переходя в неравенстве (8.19) к пределу при (см. теорему 3.13 ч. 1), получим нера­венство (8.18). Теорема доказана.

В качестве примера обратимся к пространству всех кусочно-непрерывных на сегменте функций и в этом простран­стве к ряду Фурье по тригонометрической системе (8.10) (этот ряд принято называть тригонометрическим рядом Фурье). Для любой кусочно-непрерывной на сегменте функции указанный ряд Фурье имеет вид

(8.20)

где коэффициенты Фурье и определяются формулами

Неравенство Бесселя, справедливое для любой кусочно-непрерывной на сегменте функции , имеет вид

(8.21)

Отклонение от по норме в этом случае равно так называемому среднему квадратичному отклонению

(8.22)

Отметим, что в теории тригонометрических рядов Фурье при­нята несколько иная форма записи как самого ряда Фурье (8.20), так и неравенства Бесселя (8.21), а именно: тригонометрический ряд Фурье (8.20) обычно записывают в виде

(8.20')

где

(8.23)

При такой форме записи неравенство Бесселя (8.21) принимает вид

(8.21')

Замечание. Из неравенства Бесселя (8.21') вытекает, что для любой кусочно-непрерывной на сегменте функции величины и (называемые тригонометрически­ми коэффициентами Фурье функции ) стремятся к нулю при (в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части (8.21')).