Замкнутые и полные ортонормированные системы

Как и в предыдущем параграфе, будем рассматривать произ­вольную ортонормированную систему в каком угодно беско­нечномерном евклидовом пространстве R.

Определение 1. Ортонормированная система называет­ся замкнутой, если для любого элемента f данного евклидова пространства R и для любого положительного числа найдется такая линейная комбинация (8.14) конечного числа элементов , отклонение которой от f (пo норме пространства R) мень­ше .

Иными словами, система называется замкнутой, если лю­бой элемент f данного евклидова пространства R можно прибли­зить по норме этого пространства с любой степенью точности ли­нейными комбинациями конечного числа элементов .

Замечание 1. Мы опускаем вопрос о том, во всяком ли евклидовом пространстве существуют замкнутые ортонормированные системы. Отметим, что в части 3 будет изучен важный подкласс евклидовых пространств — так называемые гиль­бертовы пространства — и будет установлено существование в каждом таком пространстве замкнутых ортонормированных систем.

Теорема 8.3. Если ортонормированная система является замкнутой, то для любого элемента f рассматриваемого евклидова пространства неравенство Бесселя (8.18) переходит в точное ра­венство

(8.24)

называемое равенством Парсеваля.

Доказательство. Фиксируем произвольный элемент f рассматриваемого евклидова пространства и произвольное поло­жительное число . Так как система является замкнутой, то найдется такой номер n и такие числа , что квадрат нормы, стоящий в правой части (8.16), будет меньше . В силу (8.16) это означает, что для произвольного найдется номер n, для которого

(8.25)

Для всех номеров, превосходящих указанный номер n, неравен­ство (8.25) будет тем более справедливо, так как при возраста­нии n сумма, стоящая в левой части (8.25), может только воз­расти.

Итак, мы доказали, что для произвольного найдется но­мер n, начиная с которого справедливо неравенство (8.25).

В соединении с неравенством (8.19) это означает, что ряд сходится к сумме . Теорема доказана.

Теорема 8.4. Если ортонормированная система является замкнутой, то, каков бы ни был элемент f, ряд Фурье этого эле­мента сходится к нему по норме рассматриваемого евклидова пространства, т. е.

(8.26)

Доказательство. Утверждение этой теоремы непосред­ственно вытекает из равенства (8.17) и из предыдущей теоремы.

Замечание 2. В пространстве всех кусочно-непрерывных на сегменте функций сходимость по норме (8.26) переходит в сходимость на этом сегменте в среднем (см. п. 3 § 4 гл. 2). Та­ким образом, если будет доказана замкнутость тригонометриче­ской системы (8.10), то теорема 8.4 будет утверждать, что для лю­бой кусочно-непрерывной на сегменте функции триго­нометрический ряд Фурье этой функции сходится к ней на указанном сегменте в среднем.

Определение 2. Ортонормированная система назы­вается полной, если, кроме нулевого элемента, не существует никакого другого элемента f данного евклидова пространства, который был бы ортогонален ко всем элементам системы .

Иными словами, система называется полной, если всякий элемент f, ортогональный ко всем элементам системы , является нулевым элементом.

Теорема 8.5. Всякая замкнутая ортонормированная система является полной.

Доказательство. Пусть система является замкнутой, и пусть f — любой элемент данного евклидова пространства, ортогональный ко всем элементам системы . Тогда все коэффициенты Фурье элемента f по системе равны нулю, и, стало быть, в силу равенства Парсеваля (8.24) и . Послед­нее равенство (в силу свойства 1° нормы) означает, что f — ну­левой элемент. Теорема доказана.

Замечание 3. Мы доказали, что в произвольном евклидо­вом пространстве из замкнутости ортонормированной системы вытекает ее полнота. Отметим без доказательства, что в произ­вольном евклидовом пространстве из полноты ортонормирован­ной системы, вообще говоря, не вытекает замкнутость этой сис­темы.

В ч.3 будет доказано, что для гильбертовых пространств полнота ортонормированной системы эквивалентна ее замкну­тости.

Теорема 8.6. Для всякой полной (и тем более для всякой замкнутой) ортонормированной системы два различных эле­мента f и g рассматриваемого евклидова пространства не могут иметь одинаковые ряды Фурье.

Доказательство. Если бы все коэффициенты Фурье эле­ментов f и g совпадали, то все коэффициенты Фурье разности были бы равны нулю, т. е. разность была бы орто­гональна ко всем элементам полной системы . Но это оз­начало бы, что разность является нулевым элементом, т. е. означало бы совпадение элементов f и g. Теорема доказана.

На этом мы заканчиваем рассмотрение общего ряда Фурье по произвольной ортонормированной системе в любом евклидовом пространстве R.

Наша очередная цель — детальное изучение ряда Фурье па тригонометрической системе (8.10).