![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Как и в предыдущем параграфе, будем рассматривать произвольную ортонормированную систему в каком угодно бесконечномерном евклидовом пространстве R.
Определение 1. Ортонормированная система называется замкнутой, если для любого элемента f данного евклидова пространства R и для любого положительного числа
найдется такая линейная комбинация (8.14) конечного числа элементов
, отклонение которой от f (пo норме пространства R) меньше
.
Иными словами, система называется замкнутой, если любой элемент f данного евклидова пространства R можно приблизить по норме этого пространства с любой степенью точности линейными комбинациями конечного числа элементов
.
Замечание 1. Мы опускаем вопрос о том, во всяком ли евклидовом пространстве существуют замкнутые ортонормированные системы. Отметим, что в части 3 будет изучен важный подкласс евклидовых пространств — так называемые гильбертовы пространства — и будет установлено существование в каждом таком пространстве замкнутых ортонормированных систем.
Теорема 8.3. Если ортонормированная система является замкнутой, то для любого элемента f рассматриваемого евклидова пространства неравенство Бесселя (8.18) переходит в точное равенство
(8.24)
называемое равенством Парсеваля.
Доказательство. Фиксируем произвольный элемент f рассматриваемого евклидова пространства и произвольное положительное число . Так как система
является замкнутой, то найдется такой номер n и такие числа
, что квадрат нормы, стоящий в правой части (8.16), будет меньше
. В силу (8.16) это означает, что для произвольного
найдется номер n, для которого
(8.25)
Для всех номеров, превосходящих указанный номер n, неравенство (8.25) будет тем более справедливо, так как при возрастании n сумма, стоящая в левой части (8.25), может только возрасти.
Итак, мы доказали, что для произвольного найдется номер n, начиная с которого справедливо неравенство (8.25).
В соединении с неравенством (8.19) это означает, что ряд сходится к сумме
. Теорема доказана.
Теорема 8.4. Если ортонормированная система является замкнутой, то, каков бы ни был элемент f, ряд Фурье этого элемента сходится к нему по норме рассматриваемого евклидова пространства, т. е.
(8.26)
Доказательство. Утверждение этой теоремы непосредственно вытекает из равенства (8.17) и из предыдущей теоремы.
Замечание 2. В пространстве всех кусочно-непрерывных на сегменте функций сходимость по норме (8.26) переходит в сходимость на этом сегменте в среднем (см. п. 3 § 4 гл. 2). Таким образом, если будет доказана замкнутость тригонометрической системы (8.10), то теорема 8.4 будет утверждать, что для любой кусочно-непрерывной на сегменте
функции
тригонометрический ряд Фурье этой функции сходится к ней на указанном сегменте в среднем.
Определение 2. Ортонормированная система называется полной, если, кроме нулевого элемента, не существует никакого другого элемента f данного евклидова пространства, который был бы ортогонален ко всем элементам
системы
.
Иными словами, система называется полной, если всякий элемент f, ортогональный ко всем элементам
системы
, является нулевым элементом.
Теорема 8.5. Всякая замкнутая ортонормированная система является полной.
Доказательство. Пусть система является замкнутой, и пусть f — любой элемент данного евклидова пространства, ортогональный ко всем элементам
системы
. Тогда все коэффициенты Фурье
элемента f по системе
равны нулю, и, стало быть, в силу равенства Парсеваля (8.24) и
. Последнее равенство (в силу свойства 1° нормы) означает, что f — нулевой элемент. Теорема доказана.
Замечание 3. Мы доказали, что в произвольном евклидовом пространстве из замкнутости ортонормированной системы вытекает ее полнота. Отметим без доказательства, что в произвольном евклидовом пространстве из полноты ортонормированной системы, вообще говоря, не вытекает замкнутость этой системы.
В ч.3 будет доказано, что для гильбертовых пространств полнота ортонормированной системы эквивалентна ее замкнутости.
Теорема 8.6. Для всякой полной (и тем более для всякой замкнутой) ортонормированной системы два различных элемента f и g рассматриваемого евклидова пространства не могут иметь одинаковые ряды Фурье.
Доказательство. Если бы все коэффициенты Фурье элементов f и g совпадали, то все коэффициенты Фурье разности были бы равны нулю, т. е. разность
была бы ортогональна ко всем элементам
полной системы
. Но это означало бы, что разность
является нулевым элементом, т. е. означало бы совпадение элементов f и g. Теорема доказана.
На этом мы заканчиваем рассмотрение общего ряда Фурье по произвольной ортонормированной системе в любом евклидовом пространстве R.
Наша очередная цель — детальное изучение ряда Фурье па тригонометрической системе (8.10).
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 645 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!