Методы Рунге – Кутта

Основная идея методов Рунге – Кутта – вместо вычисления производных высших порядков в вычислять значения функции в некоторых точках, отличных от .

Выберем

=

Разложим по h

= + =

Сравним с приведенной выше основной расчетной формулой

.

и определим коэффициенты

.

Пусть , тогда .

Если . Тогда

.

= .

Это – метод Хойна.

Если в формуле . выбрать ,

то получим явный m – шаговый (m – точечный) метод Рунге – Кутта.

Наиболее распространен явный четырехточечный метод Рунге – Кутта

В явных методах Рунге – Кутта значения вычисляются только по предыдущим значениям .

В неявных методах Рунге – Кутта значения вычисляются как по предыдущим , так и по последующим значениям . Поэтому в этих методах приходится еще решать систему уравнений относительно .

Неявный m – шаговый метод Рунге – Кутта можно записать в виде

.

,